Исследование методов вычисления определённых интегралов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра информатики

Пояснительная записка

К курсовой работе:

“Исследование методов вычисления определённых интегралов”

Выполнил:

 Проверил:

Уфа 2014

Содержание

Введение        2

Описание и блок - схема метода трапеций        3

Описание и блок – схема метода парабол Симпсона        4

Создание программы        6

Результаты работы программы        9

Выводы        13

Код программы        13

Главная форма Form1        13

Форма Form3 (информация о задании)        17

Форма Form4 (о программе)        17

Модуль Module1        18

Список использованной литературы        25

Введение

Целью курсовой работы является исследование методов вычисления определенных интегралов. Функция для интегрирования задана 1 / (x * Ln(x)). Интегрирование должно производиться на отрезке [2; 3]. При вычислении определенного интеграла приближенное значение должно сравниваться с точным значением, которое вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. Численное интегрирование должно производиться методами трапеций и Симпсона (парабол). На графике должна быть показана зависимость погрешности данных методов от количества разбиений N (N изменяется на интервале [10, 200] с шагом 10). Точное решение находится по формуле Ньютона-Лейбница. Результаты эксперимента сохранить в текстовом файле. Интервал и количество разбиений отрезка задается с клавиатуры.

Описание и блок - схема метода трапеций

Формула для метода трапеций получается так. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить определенный интеграл

[pic 1]

Разделим отрезок [a, b] точками a = X0, X1, X2, …, Xn = b на n равных частей длины t:

t= (b – a)/n

Обозначим через Y0, Y1, Y2,…, Yn-1, Yn значения функции f(x) в точках X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn, то есть

Y0 = f(X0); Y1 = f(X1); …, Yn = f(Xn).

Площадь первой трапеции вычисляется как:

((Y0 + Y1) / 2)*t

Площадь второй трапеции равна:

((Y1 + Y2) / 2)*t

Площадь последней трапеции вычисляется как:

((Yn-1 + Yn) / 2)*t

Если сложить площади всех трапеций, вычисленных по формулам, которые приведены выше, то нетрудно получить окончательную формулу для приближенного вычисления интеграла по методу трапеций:

[pic 2]

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле трапеций, будет тем меньше, чем больше число n, то есть чем меньше шаг деления t = (b – a) / n. Блок – схема для метода трапеций приводится ниже на рисунке 1.

 [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10][pic 11]

[pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26][pic 27]

                                              Нет                                             Да

[pic 28][pic 29]

[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Рисунок 1. Блок – схема метода трапеций.

Описание и блок – схема метода парабол Симпсона

Суть метода Симпсона состоит в следующем. Отрезок интегрирования [a, b] делится на четное число частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым 2 отрезкам [X0, X1] и [X1, X2] и ограниченной заданной кривой  y = f(x) заменяется площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени и проходит через три точки: М(Х0, У0), М(Х1, У1), М(Х2, У2) и имеет ось, параллельную оси оУ. Уравнение параболы с осью, параллельной оси оУ, имеет вид: