Шпаргалка по "Геометрии"

1. Алгебраическая форма комплексного числа.

Алгебраической суммой комплексного числа называется запись комплексного числа z в виде z = x+yi  C, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, такая, что . x(Re z), b(Im z)[pic 1][pic 2]

2. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Два комплексных числа  и  называются равными, если , , т.е. равны их действительные и мнимые части. [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Сложение комплексных чисел  и  выполняется непосредственным суммированием действительных и мнимых частей: [pic 9][pic 7][pic 8]

Вычитание комплексных чисел  и  выполняется непосредственным вычитанием действительных и мнимых частей: [pic 12][pic 10][pic 11]

Умножение комплексных чисел  и  выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая : [pic 16][pic 13][pic 14][pic 15]

Частное комплексных чисел  и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю: [pic 19][pic 17][pic 18]

3. Геометрическое изображение комплексного числа, модуль и аргумент.

[pic 20]     

Модулем комплексного числа z = x+yi называется выражение r = |z| = .[pic 21]

Аргументом комплексного числа называется угол φ, который образует вектор OM с положительным направлением оси абсцисс φ = arg z = arctg[pic 22]

4. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Cos(φ) = , sin(φ) = . z=|z|cos(φ)+|z|sin(φ)i = |z|(cos(φ)+isin(φ))[pic 23][pic 24]

5. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Если , , то:[pic 25][pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

6. Формула Муавра, Эйлера, Показательная формула комплексного числа

1)  [pic 29]

2) [pic 30]

  => [pic 31][pic 32]

(, [pic 33][pic 34]

=>, [pic 35][pic 36][pic 37]

3) [pic 38]

7. Корни n-ой степени комплексного числа.

Дано: . [pic 39]

, Пусть . Найти w[pic 40][pic 41]

 => [pic 42][pic 43]

=>, k  (1,2…n-1)[pic 44][pic 45]

8. Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен значению многочлена f(a)

f(x) = (x-a)q(x)+f(a).

Доказательство: Так как deg(r(x))<deg(x-a) =1 => r(x) = const, т.е. r(x)==>f(x) = (x-a)q(x)+[pic 46][pic 47]

f(a) = (a-a)q(a)+=>f(a)=[pic 48][pic 49]

Следствие: (x-a)|f(x) <=> f(a) = 0

Доказательство: (x-a)|f(x) => r = 0

f(x)=(x-a)q(x)+f(a) => f(a)=0 =>f(x)=(x-a)q(x)+f(a)=(x-a)q(x)

9. Кратный корень многочлена.

Число c является корнем многочлена тогда и только тогда, когда f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-a)g(x). Если при этом f(x) делится на  но уже не делится на , то c называется k-кратным корнем многочлена f(x). Корни кратности k=1 называются простыми корнями многочлена.[pic 50][pic 51]

10. Схема Горнера.

Схема Горнера – способ деления многочлена …  на линейный двучлен вида  x-a

[pic 52]

[pic 53]

 
[pic 54][pic 55]

11. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R и C.

Многочлен называется непрерывным над данным полем, если его нельзя представить как произведение двух многочленов не ниже 1 степени c коэффициентами из данного поля.

Над С только 1 степени (ax+b) и 0 степени  [pic 56]

Над R:
Есть основная теорема алгебры о том, что любой многочлен имеет хотя бы 1 корень на поле комплексных чисел. Если ее последовательно применять на многочлен, он раскладывается ровно на n линейных множителей
[pic 58][pic 57]