Плоскость и прямая в пространстве

РЕФЕРАТ
«Плоскость и прямая в пространстве»

Омск 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…...…………………………………………………….......……..3

ГЛАВА 1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТЕ…………...……………...…...4

1.1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку…………....4

1.2. Уравнение плоскости в «отрезках»………...………………………...... 5

1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки…..........................5

1.4. Расстояние от точки до плоскости………………..……………………..6 

ГЛАВА 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ…………………………………..7

2.1. Каноническое уравнение прямой………………………………….…….7

          2.2. Параметрическое уравнение прямой…………………………………....8

2.3. Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей………...8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….9

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………..……………….10

ВВЕДЕНИЕ

Плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых.

Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Цель: изучить прямую и плоскость в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть общее уравнение плоскости;

- вывести уравнение плоскости в отрезках;

- рассмотреть каноническое и параметрическое уравнение прямой.

ГЛАВА 1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. . Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой         плоскости. Обозначают нормаль [pic 1][pic 2]={A,B,C}.

Пусть точки М0 и М лежат на плоскости. Тогда n ⊥ M0M и, значит, их       скалярное произведение равно нулю.[pic 3][pic 4]

                                       [pic 5]

Рис.1

Общее уравнение называется полным, если все коэффициенты A,B,C,D отличны от нуля.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

                                   A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0                                                  (1)

Из предыдущего уравнения можно получить общее уравнение плоскости:    

                                             Ax+By+Cz+D=0                                                 (2)

Виды неполных уравнений:

1. D=0, Ax+By+Cz=0 – плоскость проходит через начало координат.
2. A=0, By+Cz+D=0 – плоскость параллельна оси OX.
3. B=0, Ax+Cz+D=0 – плоскость параллельна оси OY.
4. C=0, Ax+By+D=0 – плоскость параллельна оси OZ.
5. A=0, B=0, Cz+D=0 – плоскость параллельна плоскости XOY.
6. B=0, C=0, Ax+D=0 – плоскость параллельна плоскости YOZ.
7. A=0, C=0, By+D=0 – плоскость параллельна плоскости XOZ.
8. B=0, C=0, D=0, Ax=0 => x=0 – уравнение плоскости YOZ.
9. A=0, C=0, D=0, By=0 => y=0 – уравнение плоскости XOZ.
10.  A=0, B=0, D=0, Cz=0 => z=0 – уравнение плоскости XOY.

1.2. Уравнение плоскости в «отрезках»

Запишем общее уравнение плоскости:

                                          Ax+By+Cz+D=0                                                    (3)

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые:

                                             Ax+By+Cz=[pic 6][pic 7]                                                 (4)[pic 8]