Шексіз еркіндік дәрежесі бар арқалықтардың тербелісі

Қазақстан Республикасының Ғылым және жоғары білім министрлігі

«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті» КеАҚ

«Сәулет-құрылыс» факультеті

«Құрылыс» кафедрасы

СРО №11

Тақырыбы: Шексіз еркіндік дәрежесі бар арқалықтардың тербелісі

Астана 2022

Мазмұны

1.Шексіз еркіндік дәрежесі бар сәулелердің еркін тербелісі..............................3

2.Еркіндік дәрежелерінің шексіз саны бар сәулелердің мәжбүрлі тербелістері..............................................................................................................6

3.Шексіз еркіндік дәрежелері бар арқалықтар мен аркалардың еркін тербелісі....................................................................................................................9

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі........................................................................11

1. Шексіз еркіндік дәрежесі бар сәулелердің еркін тербелісі

Үздіксіз үлестірілген массасы бар жүйенің еркіндік дәрежелерінің шексіз көп саны бар, сондықтан мұндай жүйенің тербеліс мәселесін шешу әдісі әртүрлі болады. Мұндай мәселені шешудің ерекшеліктері туралы түсінік алу үшін қарапайым арқалықтың табиғи тербелістерін қарастырайық             (1-сурет).

[pic 1]

1-сурет.

Арқалық бастапқы күйден ауытқыған кезде инерциялық күштер пайда болады, олардың интенсивтілігі х координатасы бар ерікті нүктеде болады:                                                 (1.1)[pic 2]

Кез келген уақытта t арқалық элементтің дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуі ішінара туындылармен жазылады:

                         (1.2)[pic 3]

Мұндағы m – арқалықтың бірлік ұзындығының массасы.

Енді дифференциалдық теңдеудің шешімін келесі формула түрінде іздейміз

y(x,t)=XT                                          (1.3)

мұндағы X – х функциясы; T – уақыттың t функциясы. Өрнекті теңдеудегі орнына қойып, мынаны аламыз:

                                (1.4)[pic 4]

Қарапайым түрлендірулерден кейін бұл теңдеуді келесі түрге келтіреміз:

                                 (1.5)[pic 5]

Бұл теңдеудің сол жағында алым да, бөлгіш те тек х-ке, ал оң жағында тек t-ге тәуелді функцияларды қамтиды. Мұндай теңдік екі жағдайда да алымның бөлгішке бөліну бөлігі тұрақты мән болған жағдайда мүмкін болады:

.                                 (1.6)[pic 6]

Бұл тұрақтыны СО2 деп белгілейік. Бұл мәнді алдыңғы теңдіктің әрбір мәніне теңестіре отырып, біз қарапайым туындылардағы екі дифференциалдық теңдеуді аламыз:

.                         (1.7)[pic 7]

Біз бірінші теңдеудің шешімін білеміз:

T=A1sin(t+v).                                         (1.8)[pic 8]

Екінші төртінші ретті теңдеудің шешімі төрт мүшесінен тұрады:

X=B1chkx+ B2shkx+ B3coskx+ B4sinkx.                         (1.9)

B> B2, B3 және ВA тұрақтылары шекаралық шарттарға байланысты. Екі тіректегі арқалық үшін келесі шекаралық шарттар орындалуы керек: x = 0 және x = l кезінде ауытқулар нөлге тең. Бұл шартты тек соңғы мүше қанағаттандырады. Сонымен X = B4sin kx.

y(1) = 0 шартынан sin kl = 0kl = l, 2l,..., оңтүстікті табамыз. k өрнегін ескере отырып, мынаны аламыз:

.                                 (1.10)[pic 9]

Соңында, бізде бар шарт бойынша:

y(x,t)=A1sinkxsin(t+v).                         (1.11)[pic 10]

Толқын пішіндері x> функциясы арқылы анықталады, атап айтқанда синусоидтық sinkx.

 2. Еркіндік дәрежелерінің шексіз саны бар сәулелердің мәжбүрлі тербелістері

H еркіндік дәрежесі бар жүйенің еріксіз тербелістерінің амплитудаларын есептеу әдісі, дифференциалдық теңдеулер жүйесі келесі түрге ие:

,                                 (2.1)[pic 11]

мұндағы a және c - инерциялық және квазисерпімді коэффициенттердің шаршы матрицалары; q ̈, q, F – жалпылама координаталардың бағандық матрицалары (векторлық функциялар), гармоникалық жалпыланған күштердің жалпыланған үдеулері мен амплитудалары.