Задача оптимального производства в условиях случайного изменения цен на выпускаемую продукцию

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН НА ВЫПУСКАЕМУЮ ПРОДУКЦИЮ

И.А. Долгушина^[1]

        Аннотация. В работе исследуется линейная задача оптимального выпуска продукции при детерминированных сырьевых ограничениях и случайных коэффициентах целевой функции.

Продемонстрировано решение задачи графическим методом и предложен алгоритм решения с использованием инструментов программы Microsoft Excel.

Введение

При планировании и организации производственной деятельности очень часто возникает необходимость решения задач, связанных с оптимизацией производства продукции для получения наибольшей прибыли при ограниченных производственных возможностях. При этом ограниченность производственных возможностей сводится к системе линейных уравнений с детерминированными коэффициентами, а максимизация прибыли сводится к максимизации линейной целевой функция со случайными коэффициентами. Это является следствием того, что коэффициенты целевой функции существенно зависят от цен на готовую продукцию, которые могут существенно меняться по независящим от предприятия причинам.

Основная цель данной работы – рассмотреть задачи линейного программирования со случайными коэффициентами целевой функции и на примере конкретной задачи показать возможность применения графического метода решения и использования инструмента Microsoft Excel «Поиск решения».

Постановка задачи

Предприятие выпускает два вида продукции А1 и А2, используя три вида сырья В1, В2 и В3. Известны запасы сырья равные b1, b2 и b3 соответственно. Расход сырья вида Вi на производство единицы продукции Aj равен ai,j. Доход от реализации единицы продукции A1 составляет C условных единиц, а доход от реализации единицы продукции A2 составляет D условных единиц. Пусть C и D – дискретные случайные величины и известен закон закон распределения двумерной случайной величины (C,D)

Необходимо  составить такой план производства продукции, при котором доход будет максимальным.

Применение графического метода для решения поставленной задачи

Пусть X1 и X2 – искомые объёмы производства А1 и А2. Тогда сформулированная задача сводится к следующей задаче линейного программирования

                                              (1)[pic 1]

                                     (2)[pic 2]

Решить задачу (1)-(2) для случайных C и D – это значит найти распределение случайного решения (X1;X2) и соответствующее распределение целевой функции F(X1;X2).

Продемонстрируем решение сформулированной выше задачи на конкретном примере. Пусть исходные данные имеют следующие значения

Закон распределения двумерной случайной величины (C,D):

Решим задачу (1)-(2) графическим методом.

[pic 3]

Рис. 1. Графическое решение задачи (1)-(2).

Для задачи (1)-(2) градиент целевой функции

[pic 4]

является случайным вектором, и возможные значения этого случайного вектора изображены на рисунке разноцветными стрелками. Проведем для каждого значения случайного градиента перпендикуляр (линию уровня) и будем перемещать ее по направлению соответствующего градиента до тех пор, пока у нее будет хотя бы одна общая точка с многоугольником решений (на рисунке обозначен серым цветом). Эта точка будет являться решением задачи для соответствующего значения случайного градиента. Конечные положения линий уровня показаны пунктирными линиями соответствующего цвета.