Задача по "Финансам"

1. Для изготовления сыров Camamber и Brie  используется сырье трех видов. Запасы сырья известны и равны соответственно: 300, 306 и 360 тонн. Количество сырья каждого вида, необходимое для производства единицы сыра Camamber соответственно равны: 15, 12 и 3 тонны. Для сыра Brie: 2, 6 и 12 тонн. Прибыль от реализации сыра Camamber составляет 9 условных единиц, от сыра Brie — 6 условных единиц. Составить план, обеспечивающий наибольшую прибыль производству.

а) записать математическую модель;

б) решить задачу графическим методом;

в) решить задачу симплекс-методом;

г) к исходной задаче записать двойственную и решить её, используя соотношение двойственности и решение исходной.  

         Решение:

a)Составим через x1 количество сыра Camamber, через x2 – Brie. Составим ограничения на расход сырья. математическую модель задачи. Для этого введем переменные. Обозначим Общее количество первого вида сырья R1=300, для изготовления сыра требуется 15x1+2x2≤300, второго вида сырья  R2=306, тогда 12x1+6x2≤306, для третьего вида сырья R3=360, получаем 3x1+12x2≤360.

Следует учесть что, переменные x1, x2 по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательных значений, так как они обозначают количество сыра.

                В данной задаче требуется определить план изготовления сыров, для обеспечения максимальной прибыли при их реализации. Прибыль от Camamber составит 9 у.е. от Brie – 6 у.е. Таким образом, общая прибыль реализации обуви составит 9x1+6x2.

Математическая модель задачи:

[pic 1]

X1, X2 ≥0

Целевая функция:

F=9x1+6x2→max

б)Графический метод решения задачи.

        Строим на плоскости область допустимых значений. Для построения такой области следует построить на плоскости прямые, имеющие уравнения:

[pic 2]

                Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости, на одной из которых соответствующие ограничение модели выполняется, а на другой – нет. Целевую функцию строим следующим образом, пусть значение целевой функции равно 100, те. 9x1+6x2=540, подбираем две точки соответствующие этому уравнению, допустим (60;0) и (0;90) и через две точки проводим прямую.

[pic 3]

На этом рисунке заштрихованная часть OABCD и есть область допустимых значений x1 и x2. Стрелка целевой функции показывает направление ее увеличения. Двигая линию в этом направлении нетрудно убедиться, что наибольшее (оптимальное) решение соответствует одной из угловых точек, а именно точке В или С. Координаты этих точек находим путем решения системы уравнений:

[pic 4]

[pic 5]

        Максимум целевая функция достигает в точке В.

        Таким образом, для обеспечения максимальной прибыли, необходимо изготовлять сыр Camamber в количестве - 12 тонн, а Brie в количестве 27 тонн. Прибыль составит 270 усл.ед.

в)Для решения задачи симплекс методом приведем математическую модель к стандартной форме, их необходимо преобразовать в равенства. Для этого добавим в каждое ограничение дополнительную (остаточную) переменную. Математическая модель в стандартной форме будет иметь следующий вид:

[pic 6]

Строим исходную симплекс-таблицу.

Определяем переменную для включение в базис. В качестве такой переменной выбирается переменная, которой соответствует максимальные по модулю отрицательный коэффициент в E-строке. Столбец переменной, выбранной для включения в базис, называется ведущим. То в базис включаем  X1.