Сутність моделей і методів математичного програмування

Періодом найінтенсивнішого розвитку досліджень оптимізаційних задач є 1950-ті роки. У цей час з’являються розробки нових алгоритмів, теоретичні дослідження з різних класів методів і моделей. У 1951 р. — робота Г. Куна і А. Таккера, в якій наведені необхідні та достатні умови оптимальності нелінійних задач; 1954 р. — Чарнес і Лемке розглянули наближений метод розв’язання задач з сепарабельним опуклим функціоналом і лінійними обмеженнями; 1955 р. — ряд робіт, присвячених квадратичному програмуванню. Також у 1950-х роках сформувався ще один з напрямів — динамічне програмування, значний вклад у розвиток якого вніс американський математик Р. Белман. На жаль, у період найбурхливішого розвитку такого напряму математичного моделювання, як оптимізаційні методи та моделі за кордоном, у Радянському Союзі не спостерігалось значних досягнень через штучні ідеологічні обмеження. Відродження досліджень почалось в 1960—1980-ті роки і стосувалося опису «системи оптимального функціонування соціалістичної економіки». Серед радянських учених того періоду слід згадати праці В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, Н. П. Федоренко, С. С. Шаталіна, В. М. Глушкова, В. Михайлевич, Ю. М. Єрмольєва та інших. На сучасному етапі напрям оптимізаційних методів і моделей містить широкий клас задач із відповідними методами розв’язування, що охоплюють різноманітні проблеми розвитку і функціонування реальних економічних систем. Ведуться розробки банків економіко-математичних моделей, які в поєднанні з потужною, швидкодіючою обчислювальною технікою і сучасними програмними продуктами складатимуть системи підтримки прийняття рішень у різних галузях економіки.  

Назва «Математичне програмування» у сучасної людини асоціюється насамперед з програмуванням як процесом створення програм для ПЕОМ за допомогою спеціальної мови. Проте насправді це лише не дуже вдалий переклад англійського терміна mathematical programming, що означає розробку на основі математичних розрахунків програми дій для досягнення обраної мети. В економічних, виробничих, технологічних процесах різних галузей виникають задачі, подібні за постановкою, що мають низку спільних ознак і розв’язуються схожими методами. Типова постановка задачі математичного програмування така: деякий процес може розвиватися за різними варіантами, кожен з яких має свої переваги та недоліки, причому зазвичай цих варіантів може бути безліч. Необхідно з усіх можливих варіантів обрати найкращий. Задля цього використовуються математичні методи знаходження найкращої дії.

Сутність задачі економічного вибору та пов’язаною з цим необхідністю використання моделей та методів математичного програмування проілюструємо на прикладі.

Приклад 1. Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних камер. Припустимо, що збут всієї продукції необмежений, проте обсяги ресурсів праці й основних матеріалів обмежені. Задача полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, який забезпечує найбільшу виручку.

Нормативи використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціна одиниці кожного виду продукції наведено в табл. 1

Таблиця 1

Розглянемо кілька можливих варіантів виробничої програми.

Перша виробнича програма. Очевидно, що найпростішим з усіх можливих варіантів є виробництво одного виду продукції. Припустимо, що виготовляються лише морозильні камери. Ресурс робочого часу 520 люд.-год. дає можливість виготовляти 520 : 9,2 = 56 морозильних камер. Наявна кількість листового заліза забезпечує виготовлення 240 : 3 = 80морозильних камер. Останній ресурс(скло) для виготовлення даного виду продукції не використовується. Отже, кожного місяця можливо випускати лише 56 морозильних камер, що дасть виручку в обсязі 56 морозильних камер, що дасть виручку в обсязі 56 ∙ 300 = 16 800 ум. од.