Арифметическая и геометрическая прогрессия

3.        Анализ типовых задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия» в учебниках алгебры основной школы

Представим содержание теоретического материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия» в учебниках алгебры 9 класса под редакцией Абылкасымова А.Е. и проведем анализ.

Глава 3. Последовательности.

Параграф 12 «Числовая последовательность». Здесь описательно вводится понятие числовая последовательность; понятия бесконечной числовой последовательности и членов этой последовательности.

Вводятся четыре способа задания последовательности:

• словесный способ;
• аналитический способ;
• рекуррентный;
• графический способ.

На основе словесного способа закономерность расположения членов последовательности описываются словами. Например, последовательность квадратов чисел натурального ряда.  Согласно этому описанию числовая последовательность может быть записана: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …

Числовая последовательность задана аналитическим способом, если она задана с помощью формулы n-го члена. Формула n-го члена или же общего члена – это формула, по которой можно найти любой член числовой последовательности, зная его номер.

Понятие рекуррентного способа (задание последовательности через формулу, которая позволяет вычислить n1+1 - ый член через предыдущие n членов) вводится описательно.

Числовую последовательность можно задать и графическим способом. График числовой последовательности состоит из изолированных точек, абсциссы которых – натуральные числа, ординаты – члены последовательности, соответствующие своим номерам. [1, с.102]

Ранее в курсе алгебры, учащиеся не встречались с понятием числовой последовательности.

Параграф 13 «Арифметическая прогрессия». В параграфе так определяется арифметическая прогрессия: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d, называется арифметической прогрессией.Число d называется разностью арифметической прогрессии».

 Ранее в курсе алгебры, учащиеся не встречались с понятием арифметической прогрессии. Содержание понятия арифметической прогрессии дополняют свойство о среднем арифметическом: , n>1 и формула n-го члена арифметической прогрессии an = a1+(n – 1) d.[pic 1]

Свойство арифметической прогрессии о среднем арифметическом доказывается следующим методом: выражаются предыдущий и последующий члены через n-ый член, затем складываются полученные равенства, далее выражается n-ый член. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии основывается на формулировке арифметической прогрессии и осуществляется методом неполной индукции [1, c. 112].

Параграф 14 «Формула для вычисления значения суммы первых n членов арифметической прогрессии». В нем вводится понятие суммы первых n членов арифметической прогрессии в символьной записи: Sn = a1, + a2, +… + an-1 + an.

Теорема. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме ее крайних членов, умноженной на число членов.

 -формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. [pic 2]

Пример:

Сумма натуральных чисел от 1 до 50 дважды

1+2+3+...+48+49+50,

50+49+48+...+3+2+1.

Значение суммы двух членов конечной арифметической прогрессии равно значению суммы ее крайних членов.

Для доказательства теоремы о сумме первых членов арифметической прогрессии используются понятие суммы n первых членов арифметической прогрессии, определение арифметической прогрессии и равносильные преобразования. Для доказательства теоремы используется следующий приём: записывают эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания одна под другой. Получают, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенные друг под другом, равна (a1, + an). В итоге, сложив почленно выражения и выполнив преобразования, получают нужную формулу. Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии доказывается синтетическим методом, поэтому можно формировать у учащихся умения доказывать теоремы данным методом.