Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Задача 1.1

Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Для электрической цепи (рис. 1.1) выполнить следующее:

1. Написать уравнения по законам Кирхгофа (решать полученную систему не требуется).

2. Выполнить расчет токов во всех ветвях методом контурных токов.

3. Проверить правильность решения по второму закону Кирхгофа по двум контурам.

4. Составить баланс мощностей.

5. Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

6. Определить ток в одной из ветвей (по своему выбору) по методу эквивалентного генератора. Определение токов в цепи после размыкания выбранной ветви выполнить методом узловых потенциалов.

Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

Рис. 1.1

Решение

1. В рассматриваемой схеме (рис. 1.1) четыре узла () и шесть ветвей с неизвестными токами (). Для определения шести неизвестных необходимо составить по законам Кирхгофа систему из шести уравнений.[pic 12][pic 13]

По первому закону Кирхгофа следует составить  уравнения. По второму закону Кирхгофа следует составить  уравнения для трех независимых контуров. Зададимся направлениями токов, обозначим узлы, определим независимые контуры и направления обхода. Запишем уравнения по законам Кирхгофа:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

2. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями контурных токов (, , ) в независимых контурах схемы (рис. 1.2).[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

Рис. 1.2

Для определения трех неизвестных контурных токов необходимо составить по второму закону Кирхгофа систему из трех уравнений:

[pic 21]

Подставляем в полученную систему значения ЭДС и сопротивлений:

[pic 22]

[pic 23]

Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера. Вычисляем главный определитель системы:

 [pic 24]

Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ,  и :[pic 25][pic 26][pic 27]

 [pic 28]

 [pic 29]

 [pic 30]

По формулам Крамера определяем контурные токи:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Определим токи в ветвях цепи:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

3. Правильность решения проверим по второму закону Кирхгофа по двум контурам:  и .[pic 40][pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

3. Составим баланс мощностей.

Определяем суммарную мощность источников энергии:

 [pic 48]

Определяем суммарную мощность потребителей энергии:

 [pic 49]

Баланс мощностей:

[pic 50]

[pic 51]

5. Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Заземляем точку 0 (), выбираем направление обхода (рис. 1.3):[pic 52]

[pic 53]

Рис. 1.3

Определяем потенциалы остальных точек:

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Строим потенциальную диаграмму (рис. 1.4).

[pic 59]

Рис. 1.4

6. Определим ток в четвертой из ветвей по методу эквивалентного генератора.

Отключим в схеме ветвь с сопротивлением  от зажимов  (рис. 1.5).[pic 60][pic 61]

[pic 62]

Рис. 1.5

В оставшейся части цепи определим токи методом узловых потенциалов. Заземлим узел 2, для оставшегося узла 3 запишем уравнение по методу узловых потенциалов:

[pic 63]

Определяем потенциал узла 3:

[pic 64]

Для определения напряжения холостого хода определим токи  и . По закону Ома для участка цепи:[pic 65][pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Напряжение холостого хода также определяется по закону Ома для участка цепи:

[pic 71]

 [pic 72]

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора перерисуем схему, заменив источники их внутренними сопротивлениями (рис. 1.6).