Законы Кірхгофа

2. Законы Кірхгофа

У аснове метадаў аналізу электрычных ланцугоў ляжаць законы Кірхгофа. Першы закон Кірхгофа фармулюецца ў адносінах да вузлоў электрычнай ланцугу і абвяшчае: алгебраічная сума токаў галін, якія сыходзяцца ў любым вузле электрычнай ланцугу, роўная нулю. Ён адлюстроўвае той факт, што ў вузлах не могуць назапашвацца зарады. Фармальна першы закон Кірхгофа запісваецца так:

∑_(k=1)^m▒〖±i_k 〗=0 (3)

дзе m — колькасць галін, збежных в вузле.

У раўнанні (3) токі, аднолькава арыентаваныя адносна вузла, маюць аднолькавыя знакі, т.е. токі, накіраваныя да вузла, бяруцца з адным знакам (напрыклад, «+»), а токі, накіраваныя ад вузла, бяруцца з процілеглым знакам (для нашага прыкладу–« -»). Можна наадварот, знакі выходзяць з вузла токаў лічыць станоўчымі, а якія ўваходзяць у вузел — адмоўнымі. Лік незалежных раўнанняў, складзеных па першым законе Кірхгофа, будзе на адзінку менш колькасці вузлоў электрычнай ланцугу.

Пры гэтым пад вузлом маецца на ўвазе месца (кропка) злучэння трох і больш элементаў ланцуга.

Другі закон Кірхгофа фармулюецца па адносінах да контурах. Контурам называецца любы замкнёнае шлях у ланцуга.

Другі закон Кірхгофа абвяшчае: алгебраічная сума высілкаў галін у любым контуры ланцуга роўная нулю:

∑_(k=1)^m▒〖±U_k 〗=0 (4)

дзе n-лік галін, якія ўваходзяць у контур. Галіной называецца частка ланцуга, уключаная паміж двума вузламі.

У раўнанні (4) напружання, якія супадаюць з кірункам абыходу контуру, запісваюцца са знакам"+", а супрацьлеглыя кірунку абыходу - са знакам" -".

Калі контур ўтрымлівае ЭРС, то Другі закон Кірхгофа можна сфармуляваць наступным чынам: алгебраічная сума падзенняў высілкаў у любым контуры ланцуга роўная алгебраічнай суме ЭРС ў дадзеным контуры:

∑_(k=1)^m▒〖±U_k 〗=∑_(k=1)^m▒〖±e_k 〗 (5)

Кірунак абыходу контуру выбіраецца адвольна. Пры запісу левай частцы роўнасці са знакам плюс бяруцца падзення напружання ў тых галінах, у якіх наадварот станоўчае напрамак току супадае з напрамкам абходу (незалежна ад кірунку ЭРС ў гэтых галінах), а са знакам мінус — падзення напружання ў тых галінах, у якіх станоўчае кірунак току процілегла кірунку абыходу. Пры запісе правай частцы роўнасці ЭРС, напрамкі якіх супадаюць з абраным кірункам абыходу( незалежна ад кірунку току, які праходзіць праз іх), бяруцца са знакам плюс, а ЭРС, накіраваныя супраць абранага напрамкі абыходу, - са знакам мінус.

Прымяненне законаў Кірхгофа

Метад разліку электрычных ланцугоў, заснаваны на законах Кірхгофа, у якіх незалежнымі зменнымі з'яўляюцца токі галін, называюць метадам токаў галін. У гэтым выпадку усталёўваецца лік невядомых токаў, роўнае ліку галін, не змяшчае крыніц току. Для кожнай такой галіны задаецца адвольна станоўчы кірунак току.

Лік незалежных раўнанняў, складзеных па першым законе Кірхгофа, на адзінку менш колькасці вузлоў. Лік незалежных раўнанняў, складаюцца па другому закону Кірхгофа,

K = NB-NУ + 1-NT (6)

дзе NB-лік галін ланцуга, NУ-лік вузлоў ланцуга, NT – лік галін ланцуга, якія змяшчаюць крыніцы току.

Пры складанні ўраўненняў па другому закону Кірхгофа варта выбіраць незалежныя контуры, не якія змяшчаюць крыніц току. Незалежным называецца контур, які ўтрымлівае хоць бы адну галінку, якая не ўваходзіць у іншыя контуры ланцуга.

Агульная колькасць раўнанняў, якія складаюцца па першым і другім законах Кірхгофа, роўна ліку (NВ – NТ) невядомых токаў.

Задача 2

Запісаць для зададзенай ланцуга (мал. 3) сістэму раўнанняў для разліку токаў па метадзе токаў галін.

Малюнак 3

Рашэнне.

Лік вузлоў ланцуга роўна NУ = 3, лік галін ланцуга NB = 5, лік галін ланцуга, якія змяшчаюць крыніцы току, NT = 1. Лік невядомых токаў роўна NHT = NB-NT = 4. Такім чынам, сістэма раўнанняў па законах Кірхгофа павінна ўтрымліваць чатыры незалежных ўраўненні адносна токаў галін. Лік раўнанняў па першаму закону Кірхгофа складае NУ – 1, такім чынам, двух. Лік раўнанняў па другому закону Кірхгофа складае NB – (NУ – 1) – NT, такім чынам, таксама двум.

Атрымліваем сістэму раўнанняў:

I1 – I3 + J = 0;