Власні коливання і метод Крилова –Боголюбова

Власні коливання і метод Крилова –Боголюбова

Розглянемо систему з одним ступенем свободи, на яку накладені голономні стаціонарні зв'язки і діють задані стаціонарні сили; при цьому припустимо, що у системи є положення стійкої рівноваги. Розкладання кінетичної, потенційної і диссипативної функцій в околиці цього положення аж до членів другого порядку крихті включно призводить до лінійного рівняння. Проте у багатьох практично важливих завданнях виникає необхідність дослідження коливань з досить великими амплітудами і швидкостями. У таких випадках лінійне наближення виявляється недостатнім і доводиться враховувати подальші члени розкладань, що призводять до нелінійних рівнянь. Якщо при цьому відхилення від положення рівноваги і швидкості точок не занадто великі, то відповідні рівняння описуватимуть малі нелінійні коливання.  

[pic 1]

Мал.1

Вивчимо особливості таких коливань на прикладі математичного маятника, поміщеного в середу з "лінійним" опором (мал.1). Його кінетична і потенційна енергія, а також дисипативна функція відповідно рівні

[pic 2]

Розкладаючи потенційну енергію в положенні стійкої рівноваги [pic 3]з точністю до членів четвертого порядку крихти включно, отримаємо

[pic 4]

знайдемо рівняння Лагранжа

[pic 5]

де [pic 6]. Якщо в цьому рівнянні нехтувати нелінійним членом, пропорційним [pic 7], то прийдемо до лінійного рівняння; рішенням якого у разі [pic 8]являється функція

[pic 9]

де [pic 10]. Якщо ж не нехтувати нелінійним членом, то, враховуючи його крихту в порівнянні з лінійним членом, пропорційним [pic 11], можна припустити, що рішення, що описує нелінійне коливання, за формою близьке до рішення лінійного рівняння.

[pic 12]                                     (1)

де [pic 13]і [pic 14] - невідомі амплітуди і фаза нелінійного коливання.

           Величина узагальненої сили, пов'язаної з відхиленням маятника від вертикалі і пропорційною, [pic 15], меншої величини тієї ж сили в лінійному наближенні, причому відмінність в цих значеннях тим більше, чим більше відхилення маятника від вертикалі. Отже, перша похідна фази [pic 16]за часом або частота [pic 17] нелінійних коливань маятника буде менше власної частоти [pic 18] його лінійних коливань і залежатиме від амплітуди коливань. У зв'язку з цим можна допустити, що для власних нелінійних коливань, взагалі кажучи, має місце залежність:

[pic 19]                                    (2)      

де [pic 20]- невідома функція, вид якої визначається видом узагальненої сили.

            Припущення про зміну амплітуди нелінійного коливання, по суті, також пов'язане з допущенням (1) про "близькість" нелінійного і лінійного коливань впродовж одного періоду. Дійсно, в лінійному наближенні амплітуда математичного маятника змінюється згідно із законом

[pic 21]

і задовольняє рівнянню

[pic 22]

Тому вважатимемо, що і в загальному випадку похідна від амплітуди нелінійних коливань є функцією амплітуди.

[pic 23]                                      (3)

            Характерною для нелінійних коливань є наявність "обертонів", частот, кратних основній частоті. Зокрема, це можна бачити на прикладі математичного маятника, рівняння якого містить нелінійний член, що призводить до появи вищої гармоніки (1) :

[pic 24]

            Нарешті, в силу нелінійності рівняння руху його загальне рішення не зводиться до суми приватних рішень, і, отже, принцип суперпозиції не має місця. Такі особливості нелінійних малих коливань або, як то кажуть, слабо-нелінійних коливань.                        Розглянемо рівняння слабо-нелінійних власних одновимірних коливань виду