Методы определения устойчивости замкнутых систем по годографу Найквиста

Цель лабораторной работы: изучения основных методов определения устойчивости замкнутых систем по годографу Найквиста. Определение запасов устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ.

m=N/100 % N – номер варианта

wr1=tf([1], [1 1-m])

wr2=tf([1], [1 -0.5-m])

wr3=tf([5], [1 2 2 1+m])

wr4=tf([1], [1 -1 1-m])

wr5=tf([2+m], [1 2 3 1])

1.  Задание 1: для систем wr1, wr2, wr3, wr4 построить карту полюсов и нулей и диаграмму Найквиста. Исследовать устойчивость исходной (разомкнутой) и соответствующей замкнутой (единичной, отрицательной обратной связью). Результат проверить, построив переходную характеристику замкнутой системы.

• Система задана передаточной функцией:

[pic 1]

Все графики, полученные для заданной системы, показаны на рисунке 1:

[pic 2]

Рис 1 – Графики для первой системы

Скрипт для получения данной системы графиков:

m = 13/100

wr1 = tf ([1], [1 1-m])

figure(1)

subplot(221)

pzmap(wr1)% Нули полюсы разомкнутой системы

subplot(222)

step(wr1); grid;

subplot (223)

nyquist (wr1)%АФЧХ разомкнутой системы (диаграмма Найквиста)

subplot(224)

impulse (wr1z); grid;

Из карты полюсов и нулей функции видим, что система имеет только один полюс, который является действительным и отрицательным, из этого делаем вывод, что разомкнутая система устойчива.

Так как разомкнутая – устойчива, то для устойчивости замкнутой достаточно, чтобы диаграмма Найквиста не охватывала точку с координатами (-1, J*0). Годограф, как мы видим, на левом нижнем графике, не охватывает точку с заданными координатами, следовательно, замкнутая система тоже устойчива.

Проверим этот результат, найдя передаточную и переходную функции замкнутой системы. Как видно из рисунка, который находится в нижнем правом углу, переходная характеристика замкнутой системы стремится с увеличением времени к постоянному значению. Это дает нам право сказать, что замкнутая система устойчива, что подтверждает первоначальный вывод по критериям Найквиста.

• Система задана передаточной функцией:

[pic 3]

Все графики, полученные для заданной системы, показаны на рисунке 2:

[pic 4]

Рис 2 – Графики второй системы

Скрипт для получения данной системы графиков:

wr2=tf([1],[1 -0.5-m])

subplot(221)

pzmap(wr2)

subplot(222)

step(wr2); grid;

subplot (223)

nyquist (wr2)

subplot(224)

wr2z = feedback(wr2,1)

impulse (wr2z); grid;

Из карты полюсов видно, что система имеет только один полюс, который является действительным и положительным, из этого делаем вывод, что разомкнутая система неустойчива.

Если разомкнутая система – неустойчива, а ПФ имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от от -∞ до +∞ охватывала m раз точку с координатами {–1, j0}. Годограф, как видно на нижнем левом графике, охватывает точку с координатами {–1, j0} (отмечена красным крестиком) ровно 1 раз, что говорит о том, что замкнутая система является устойчивой. Графика импульсной функции подтверждает, что замкнутая система является устойчивой.

• Система задана передаточной функцией:

[pic 5]

Все графики, полученные для заданной системы, показаны на рисунке 3:

[pic 6]

Рис 3 – Графики третьей системы

Скрипт для получения данной системы графиков:

wr3=tf([5],[1 2 2 1+m])

subplot(221)

pzmap(wr3)

subplot(222)

step(wr3); grid;

subplot (223)

nyquist (wr3)

subplot(224)

wr3z = feedback(wr3,1)

impulse (wr3z); grid;

Из графика полюсов видно, что система имеет 3 полюса, которые являются действительными и отрицательными. Из этого можно сделать вывод, что разомкнутая система является устойчивой.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞не охватывала точку с координатами {–1, j0}. Из диаграммы Найквиста видно, что график охватывает точку с координатами {–1, j0}, из чего следует, что замкнутая система является неустойчивой. График импульсного отклика подтверждает данные, полученные из диаграммы Найквиста: поскольку график постоянно увеличивается, это доказывает, что замкнутая – неустойчива.