Применение программного продукта MATLAB для решения инженерной задачи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"

Факультет электроники
Кафедра радиотехнической электроники

"Применение программного продукта MATLAB для решения
инженерной задачи"

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе по дисциплине "Информационные технологии"

Доцент, к.т.н.        Коноплев Г.А.

Студент гр.8204        Щипицын Г.Я.

Санкт-Петербург
2019

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

1. Постановка задачи и метод решения        3
2. Алгоритм решения        4
3. Текст программы        5
4. Листинг результатов        7
5. Диаграммы         8
6. Заключение        9

Microsoft®, MS® являются зарегистрированными товарными знаками корпорации Microsoft, а Microsoft Works™ является торговым знаком корпорации Microsoft в США и других странах.

© Microsoft Corporation

1. Постановка задачи

        Математическая модель задачи описывается двумя переменными величинами Х и Y, связанными между собой системой двух трансцендентных уравнений вида:

Y=COS(X)
Y=SQRT(X)–3

        Искомые значения переменных величин являются корнями системы уравнений. Для решения задачи необходимо определить количество корней и сами корни системы уравнений на заданном интервале [0; 15).

        Решение системы трансцендентных уравнений производится следующим образом. Для каждого значения Х с шагом dX=0.1 (для повышения точности нахождения корней) вычисляется разница значений функций обоих уравнений – dY. Смена знака этой переменной определяет наличие корня. Далее с помощью метода бисекции с заданной погрешностью eps вычисляются корни уравнений.

        Основная процедура заключается в том, что корневой отрезок делится пополам, находится значение Хс в средней точке и затем вычисляется соответствующее ему значение dYc. Абсолютная величина полученного значения сравнивается с заданной погрешностью eps=0,001 и в случае, когда abs(dYc) < eps, полученные значения Хс и Yc принимаются в качестве корней системы уравнений.  

        В случае, когда abs(dYc) > eps, dYc сравнивается с значениями dY1 и dY2 и из них выбирается то, которое отличается знаком от dYc. Одной из границ нового корневого отрезка становится значение Хс, другой либо Х1, либо Х2. Далее повторяется основная процедура до получения корней системы уравнений.

        Количество повторов (шагов) основной процедуры зависит от заданной величины погрешности. Дополнительно исследуется зависимость количества шагов от значений погрешности eps=1.E-5 и eps=1.E-6.

1. Алгоритм решения

Для решения данной задачи для начала проанализируем заданные функции при помощи их построения. Функция «косинус» является периодической на интервале от минус до плюс бесконечности и может принимать значения от -1 до 1 включительно. Функция «корень» определена только на положительном интервале, значения которой возрастают на бесконечности.

Для определения их точек пересечения используем следующий метод. В данной задаче начальная точка косинуса лежит выше, чем точка корня (эта точка смещена вниз относительно начала координат по условию). Это значит, что если разность между "косинусом» и «корнем» станет отрицательной, то функции имеют точку пересечения или корень. Для определения следующего корня придется находить разность между «корнем» и «косинусом» (чтобы из большего вычиталось меньшее). Таким образом будет возможность вновь определить, когда функции пересекутся.

Для вычисления самих корней используется метод бисекции (половинного деления отрезка). Суть метода заключается в том, чтобы определять середину интервала, на котором располагается корень уравнений, и затем с каждым разом уменьшать этот интервал вдвое, потихоньку приближаясь к истинному значению корня. В зависимости от уменьшения погрешности eps делений будет больше и результат точнее.

1. Текст программы

j=0;

x=0;

dx=0.1;

n=15; %правая граница интервала

xt=(151);

yt1=(151);      %массивы для построения графиков

yt2=(151);