Марковские случайные процессы

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        2

1.        Постановка задачи        3

2.        Описание алгоритма        4

3.        Ручной расчёт        4

4.        Результат работы программы        6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        7

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ        8

ПРИЛОЖЕНИЕ        9

ВВЕДЕНИЕ

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и, соответственно, в рекомендательных системах.

Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть, с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для Марковских случайных процессов. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Все многообразие Марковских цепей подразделяется на эргодические и разложимые.

Марковские цепи используются в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе, состоящей из n приборов.

Используются в задачах, где необходимо прогнозирование. Например, прогноз погоды, оценка будущих продаж.

1. Постановка задачи

В данной работе для рассмотрения Марковского процесса рассматривается некоторая система, имеющая n состояний.

В любой момент времени система может находиться в одном из состояний. Имеется граф переходов между состояниями, по которому в дальнейшем строится матрица переходов.

Состояние оборудования на заводе может в любой момент времени находиться либо в состоянии реализации задач работника, либо в состоянии профилактических работ, либо в состоянии ожидания команды. Определить коэффициент состояния реализации задач работника, если задана матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое

Продолжительность нахождения системы в каждом состоянии кратна длительности шага. Определить коэффициент использования оборудования, если задана матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое.

[pic 1]

S1 – состояние, в котором реализуются задачи работника

S2 – состояние, в котором реализуются профилактические работы

S3 – состояние ожидания команды

[pic 2]

Рисунок 1 – граф состояний

Требуется реализовать Марковскую модель по заданному графу состояний и узнать вероятность состояний в каждом из состояний.

1. Описание алгоритма

1. Переходные вероятности однородной Марковской цепи образуют квадратную матрицу порядка n;
2. Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя;
3. Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (𝑗-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние);
4. Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий'
5. Для системы строится матрица линейных алгебраических уравнений;
6. Решая систему уравнений, получаем значения вероятностей состояний.

1. Ручной расчёт

Для демонстрации корректности работы реализованного алгоритма был выполнен пошаговый расчёт.

Исходному графу (рисунок 1) соответствует следующая вероятность переходов:
[pic 3]

Для данной матрицы составим систему линейных алгебраических уравнений:

[pic 4]

На основании 4 уравнения:

[pic 5]

Уравниваем левые и правые части уравнений:

[pic 6]

Таким образом получаем:

[pic 7]

Решение системы уравнений:

[pic 8]

 2,34[pic 9]

[pic 10]

 0,64[pic 11]

[pic 12]

 0,58[pic 13]

[pic 14]

 0,78[pic 15]

В результате решения получаем значение вероятностей состояния в установленном режиме: