Интерполяция функций
Автор: Никита Ляпендин • Декабрь 20, 2018 • Лабораторная работа • 3,557 Слов (15 Страниц) • 361 Просмотры
Липецкий государственный технический университет
Кафедра Автоматизированных систем управления
Лабораторная работа №1 по дисциплине «Численные методы»
«Интерполяция функций»
Студенты 20.12.2018
Группа АС-16
Руководитель Сараев П. В.
доцент
Липецк 2018г.
Оглавление
1. Задание кафедры
2. Теоретическая часть
2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона
3. Практическая часть
3.1. Листинг программы
3.2. Тестовый пример
4. Вывод
Реализация интерполяционного многочлена Лагранжа - Крылов Н. В.
Реализация интерполяционного многочлена Ньютона – Денежкин А. А.
Заполнение массива данных разными способами и вычисление функции в точке делались совметно.
- Задание кафедры
Разработайте программное обеспечение для построения интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона на основе таблично заданной функции (множества пар вещественных чисел {xi, yi}, где xi – узловые точки, yi – значения функции в узловых точках). Рассчитайте значение функции на основе построенных интерполяционных многочленов в точке x*.
Выведите также значения этих многочленов в точке x*. Сравните результаты, полученные разными способами.
- Теоретическая часть
2.1 Интерполяционный полином Лагранжа
При глобальной интерполяции на всем интервале [pic 1] строится единый многочлен. Одной из форм записи интерполяционного многочлена для глобальной интерполяции является многочлен Лагранжа:
[pic 2]
где [pic 3] – базисные многочлены степени n:
[pic 4]
То есть многочлен Лагранжа можно записать в виде:
[pic 5]
Тогда очевидно, что при добавлении новой точки к исходному набору точек придется заново конструировать интерполяционный полином. Этого недостатка лишен интерполяционный полином, записанный в рассмотренной ниже форме Ньютона.
Важно понимать, что каким бы способом не строился интерполяционный полином по заданному набору точек, результат всегда получается один и тот же (с точностью до ошибок, возникающих при округлении вещественных чисел), поскольку через заданные [pic 6]точки проходит ровно один полином n-ой степени.
- Интерполяционный полином Ньютона
Другая форма записи интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями. Пусть функция [pic 7] задана с произвольным шагом, и точки таблицы значений пронумерованы в произвольном порядке.
Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:
[pic 8]
Разделенные разности второго порядка определяются через разделенные разности первого порядка:
[pic 9]
Разделенные разности k-го порядка определяются через разделенные разности порядка [pic 10]:
[pic 11]
Используя понятие разделенной разности интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:
...