Задачи по "Линейному программированию"

ВАРИАНТ 3

Задача №1

Для изготовления йогурта двух видов используется сырье трех видов. Запасы сырья известны и равны соответственно: 192, 144 и 135 тонн. Количество сырья каждого вида, необходимое для производства единицы йогурта первого вида соответственно равны: 8, 4 и 3 тонны. Для йогурта второго вида: 6, 9 и 9 тонн. Прибыль от реализации йогурта первого вида составляет 8 условных единиц, от йогурта второго вида — 9 условные единицы. Составить план, обеспечивающий наибольшую прибыль производству.

а) записать математическую модель;

б) решить задачу графическим методом;

в) решить задачу симплекс-методом;

г) к исходной задаче записать двойственную и решить её, используя соотношение двойственности и решение исходной.

Решение

а) Осуществим выбор неизвестных. Ясно, что в решении мы должны указать количество единиц йогуртов двух видов, которые должны производиться. Поэтому в качестве неизвестных задачи выбираем:

[pic 1] - количество йогурта первого вида (шт.),

[pic 2] - количество йогурта второго вида (шт.).

Целью производства является прибыль. Прибыль от производства [pic 3] единицы йогурта первого вида по цене 8 условных единиц за одну единицу йогурта равна [pic 4], а прибыль от производства [pic 5] единицы йогурта второго вида по цене 9 условных единиц за одну единицу йогурта равна [pic 6]. Поэтому целевую функцию – общую прибыль производства – запишем как сумму прибылей, получаемых от производства йогурта первого и второго видов: [pic 7].

Нам необходимо получить наибольшую прибыль. Если рассмотреть полученную целевую функцию формально, то видно, что чем большие значения неизвестных будут взяты, тем большее значение функции будет получено. Но мы не можем выбирать произвольно большие значения неизвестных, так как продукция изготавливается из трех видов сырья, на которые имеется ограничение.

Учтем ограничения существующих видов сырья. На производство [pic 8] единицы йогурта первого вида будет затрачено [pic 9] тонн сырья. Аналогично определяем, что на производство [pic 10] единицы йогурта второго вида будет затрачено [pic 11] тонн сырья. Таким образом, общие затраты сырья первого вида составят [pic 12] тонн. Эта величина не должна превышать [pic 13] тонны – существующее количество сырья первого вида (меньшее количество может быть использовано). Поэтому получаем окончательно первое ограничение в виде неравенства: [pic 14].

На производство [pic 15] единицы йогурта первого вида будет затрачено [pic 16] тонны сырья второго вида. Аналогично определяем, что на производство [pic 17] единицы йогурта второго вида будет затрачено [pic 18] тонны сырья второго вида. Таким образом, общие затраты сырья второго вида составят [pic 19] тонны. Эта величина не должна превышать [pic 20] тонны – существующее количество сырья второго вида (меньшее количество может быть использовано). Поэтому получаем окончательно второе ограничение в виде неравенства: [pic 21].

На производство [pic 22] единицы йогурта первого вида будет затрачено [pic 23] тонны сырья третьего вида. Аналогично определяем, что на производство [pic 24] будет затрачено [pic 25] тонны сырья третьего вида. Таким образом, общие затраты сырья третьего вида составят [pic 26] тонны. Эта величина не должна превышать [pic 27] тонн – существующее количество сырья третьего вида (меньшее количество может быть использовано). Поэтому получаем окончательно третье ограничение в виде неравенства: [pic 28].