Қос интеграл және оның механикадағы қолданылуы

Реферат
Тақырып: Қос интеграл және оның механикадағы қолданылуы

Кіріспе

Қазіргі заман математикасы мен оның қолданбалы салаларында қос интеграл маңызды орын алады. Көп айнымалы функцияларды интегралдау әдістері инженерияда, физикада, механикада және сандық модельдеу саласында кеңінен қолданылады. Қос интеграл жазықтықтағы аймақтарда функцияның жинақталған шамасын есептеуге мүмкіндік береді. Бұл тәсіл арқылы аудан, масса, тығыздығы айнымалы денелердің жалпы массасы, ауырлық орталығы, инерция моменттері және әртүрлі күш өрістеріндегі жұмыс мөлшері анықталады. Сондықтан қос интеграл көптеген ғылыми есептерді шешуде негізгі математикалық құрал болып табылады.

Рефераттың мақсаты — қос интеграл ұғымын түсіндіру, оның механикадағы қолданылу мысалдарын көрсету және инженерлік есептерде алатын орнын ашып көрсету.

1. Қос интеграл туралы жалпы түсінік

Қос интеграл — екі айнымалы функциялардың белгілі бір аймақ бойынша интегралдануы. Екі өлшемді денелердің қасиеттерін анықтау үшін өте тиімді. Қос интегралдың жалпы түрі:

⧠ ∬D f(x, y) dxdy

Мұндағы D — жазықтықтағы интегралдау аймағы. Қос интеграл аймақтың күрделілігіне байланысты тік төртбұрышты, қисық сызықты немесе полярлық координаталарда есептелуі мүмкін.

Қос интегралдың негізгі қасиеттері:

1. Сызықтылық қасиеті

2. Аймақты бөліп интегралдау мүмкіндігі

3. Айнымалыны ауыстыру ережелері

4. Геометриялық және физикалық мағыналылығы

Бұл қасиеттер қос интегралдарды әртүрлі күрделі есептерге қолдануға мүмкіндік береді.

2. Қос интегралдың механикадағы қолданылуы

Механикада қос интеграл көптеген шамаларды есептеуге арналған негізгі құрал. Жазық денелердің массасы, ауырлық орталығы, инерция моменттері сияқты шамалар екі айнымалы функциялар арқылы сипатталады. Бұл бөлімде қос интегралдың ең маңызды қолдану салалары қарастырылады.

2.1 Дененің массасын есептеу

Егер жазық дене аймағы D және оның тығыздығы ρ(x,y) белгілі болса, онда жалпы массасы:

M = ∬D ρ(x,y) dxdy

Егер дене біртекті болса, яғни тығыздық тұрақты болса, онда масса дене ауданына пропорционал.

Бұл формула инженерлік есептерде, материалдар механикасында және машина жасауда кең қолданылады.

2.2 Ауырлық орталығы (массалар центрі)

Дененің ауырлық орталығы координаталары келесі формулалармен анықталады:

x̄ = 1/M ∬D xρ(x,y) dxdy

ȳ = 1/M ∬D yρ(x,y) dxdy

Ауырлық орталығы механикада өте маңызды, себебі дененің тепе-теңдігі және қозғалыс заңдары осы нүктеге байланысты. Конструкциялардың тұрақтылығын есептеу, ғимараттарды жобалау, көлік құралдарының қауіпсіздігі сияқты салаларда ауырлық орталығын дәл анықтау қажет.