Функциональные поля

1. ffPEqBAPJTEhbHªE CBEqEHJA

1. Cenapa6enanɵe u uucmo necenapa6enanɵe pacuupenue noneu

1. Ompegenehme. Pacmmpehme moneu K / k hasɵbaetce cenapa6enanam, ecnm K / k − anfe6- pamueckoe pacmmpehme m, ecnm bcekmu snemeht z χ K ebneetce mpoctɵm kophem cboefo mmhmmana- hofo mhofouneha hag k.
2. Teopema (o npumumubnom 7nemenme). ¶ne bcekofo koheuhofo cemapa6enahofo pacmmpe- hme K / k cyyectbyet snemeht y χ K (hasɵbaemɵu npumumubnam 7nemenmom), takou, uto K = k(y).
3. Ompegenehme. Mone k hasɵbaetce cobepnennam, ecnm oho ygobnetbopeet oghomy ms cne- gydymx gbyx ycnobmu:

1. char k = 0,
2. char k = p > 0 m k p = {x p | x χ k} = k (t.e. bcekmu x χ k ebneetce kophem ctemehm p ms heko-

topofo snemehta  y χ k;  skbmbanehtho, shgomopØmsm 8po6ehmyca  ο : x > x p  mone  k  ebneetce abto- mopØmsmom  k).

1. Npmmep. Mone $, Æ m ¢ cobepmehhɵ. Bcekoe koheuhoe mone Æq cobepmehho.
2. Teopema. Bcekoe anfe6pamueckoe pacmmpehme cobepmehhofo mone cemapa6enaho. B uact- hoctm, anfe6pamueckoe samɵkahme K = k cobepmehhofo mone k cemapa6enaho m, cnegobatenaho, ebneetce (b o6yem cnyuae 6eckoheuhɵm) pacmmpehmem Fanya mone k.[pic 2]
3. Ompegenehme. Mycta L – pacmmpehme cobepmehhofo mone k, cogepwayeece b samɵkahmm K = k , t.e. L – mpomewytouhoe mone: k χ L χ K. A6conαmnou spynnou Tanya mone L hasɵbaetce fpymma GL = Aut (K / L) abtomopØmsmob mone K hag L.[pic 3]

Kak m b cnyuae koheuhofo pacmmpehme Fanya gne  x χ K  bɵmonheetce

x χ L   ε   ο(x) = x   gne nd6ofo   ο χ GL.

1. Ompegenehme. Mycta k – mone xapaktepmctmkm p > 0, K – efo pacmmpehme. 3nemeht x ms K, anfe6pamueckmu hag k, hasɵbaetce uucmo necenapa6enanam hag k, ecnm cyyectbyet yenoe n Š 0, takoe, uto xpn χ k.
2. Npegnowehme. ¶ne anfe6pamueckofo pacmmpehme K mone k cnegydyme ycnobme skbmba- nehthɵ:

1. Bcekmu snemeht x ms K umcto hecemapa6eneh hag k.

1. Mmhmmanahɵu mhofouneh hag k bcekofo snemehta x χ K mmeet bmg yenofo n Š 0 m a χ k.

T pn   − a  gne hekotopofo

1. Cyyectbyet mhowectbo S χ K, takoe, uto K = k(S), m bcekmu snemeht s χ S umcto hecemapa- 6eneh hag k.

1. Ompegenehme. Pacmmpehme K / k, ygobnetbopedyee mpegɵgyymm skbmbanehthɵm ycno- bmem, hasɵbaetce uucmo necenapa6enanam.
2. Teopema. Mycta K / k – anfe6pamueckoe pacmmpehme moneu, K0 – mhowectbo bcex snemeh- tob ms K, cemapa6enahɵx hag k. Tofga K 0 – mogmone b K, cogepwayee k (efo hasɵbadt cenapa- 6enanam tamaeanuem mone k b K). Mpm stom

1. K umcto hecemapa6enaho hag K0.
2. Ecnm K / k – hopmanahoe pacmmpehme, to K0 / k – pacmmpehme Fanya.

1. Ecnm K / k – hopmanahoe pacmmpehme, G – fpymma efo k-abtomopØmsmob m K G – hemogbmwhoe mone fpymmɵ G b K, to K cemapa6enaho hag K G, a K G umcto hecemapa6enaho hag k.

1. flonaya 6ucepemnoso nopnupobanue

1. Konayo A hasɵbaetce noeananam, ecnm oho o6nagaet egmhctbehhɵm makcmmanahɵm mgea- nom. Ecnm A – nokanahoe konayo, to A \ A × − efo egmhctbehhɵu makcmmanahɵu mgean. O6patho, ecnm A \ A × − mgean b A, to A – nokanahoe konayo m efo egmhctbehhɵu makcmmanahɵu mgean ecta p = A \ A ×

(ympawhehme).

Npmmep. Konayo  A / 8A  nokanaho. Efo egmhctbehhɵu makcmmanahɵu mgean ecta  p = 2A / 8A.

1. Ompegenehme. Mycta A / R – pacmmpehme koney. 3nemeht x χ A hasɵbaetce çenam hag R, ecnm x ebneetce kophem yhmtaphofo mhofouneha c kosØØmymehtamm ms R; mhɵmm cnobamm, ecnm cy- yectbydt yenoe n Š 1 m snemehtɵ a0, a1,..., an −1 χ R, takme, uto

xn + a

xn−1 + ... + a x + a

= 0.

n −1        1        0

Mhowectbo snemehtob  x χ A,  yenɵx hag  R,  o6pasyet mogkonayo b  A,  cogepwayee  R  (ympaw- hehme), hasɵbaemoe çenam tamaeanuem  R  b  A  m o6oshauaemoe   R .  Ecnm  R = R ,  to mogkonayo  R hasɵbaetce çenotamenymam b  A.  Konayo yenocthoctm hasɵbaetce çenotamenymam, ecnm oho yeno-[pic 4][pic 5]