Теория сравнений

Автореферат

Теория сравнений является одним из разделов теории чисел, часто используется в линейной алгебре, а также находит своё применение в других различных областях. Проблемой является лишь то, что данный раздел изучается достаточно поверхностно.

Целью курсовой работы является рассмотрение основ теории сравнений, а также применение данной теории к решению задач школьного курса математики.

Объектом курсовой работы является теория чисел.

Предметом курсовой работы является применение теории сравнений при решении различных задач курса математики основной школы.

Для достижения поставленной цели нужно выполнить следующие задачи:

1. Проанализировать учебную, научную, методическую литературу по проблеме исследования;
2. Рассмотреть основные теоремы, связанные с теорией сравнений;
3. Рассмотреть приложение теории сравнений

Чтобы перейти к понятию сравнения нужно перейти к рассмотрений остатков от деления определенного числа [pic 1]на некоторые числа [pic 2], при этом [pic 3]. Данные остатки имеют различные свойства, которые доказываются с помощью так называемых сравнений по модулю.

Определение 1. Два числа [pic 4], [pic 5] сравнимы по модулю [pic 6], тогда, когда [pic 7] делится на [pic 8].

Для дальнейшего решения определенных задач нужно рассмотреть некоторые теоремы, которые помогут разобраться в изучаемом материале.

Теорема 1. Числа [pic 9], [pic 10] являются сравнимыми по модулю [pic 11]тогда и только тогда, когда оба числа имеют равные остатки при делении на [pic 12].

Определение 2. Два и более целых числа, которые при делении на [pic 13]имеют равные остатки являются равноостаточными либо сравнимыми по модулю [pic 14].

Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно: [pic 15].[pic 16]

Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если [pic 17], то [pic 20].[pic 18][pic 19]

Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если [pic 22][pic 21]

[pic 24]то [pic 26].[pic 23][pic 25]

Теорема 5. Если  [pic 28] и [pic 29] – любое целое число, то[pic 27]

[pic 30].[pic 31]

Теорема 6. Если [pic 33] и [pic 35], то [pic 37].[pic 32][pic 34][pic 36]

Теорема 7. Если [pic 39] и [pic 40], то [pic 41].[pic 38]

Теорема 8. Если [pic 42], [pic 43], то [pic 45].[pic 44]

Теорема 9. Если [pic 47], [pic 49], то [pic 50] и [pic 51].[pic 46][pic 48]

Теорема 10. Если [pic 53] и [pic 55], то [pic 56].[pic 52][pic 54][pic 57]

Теорема 11. Если [pic 59], то при [pic 60].[pic 58]

Теорема 12. Если [pic 62] и [pic 63] некоторый многочлен, коэффициенты которого принадлежат множеству целых чисел, то [pic 65].[pic 61][pic 64][pic 66]

Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль.

Теорема 15. Если [pic 68] и , то [pic 71].[pic 67][pic 69][pic 70]

Теорема 16. Если [pic 73], то множество общих делителей  и  совпадает с множеством общих делителей [pic 77] и [pic 79]. В частности, [pic 80][pic 72][pic 74][pic 75][pic 76][pic 78][pic 81]