Свойства определителей
Автор: jodar • Сентябрь 30, 2020 • Лекция • 790 Слов (4 Страниц) • 257 Просмотры
Лекция №4
Тема: Свойства определителей
- Миноры и алгебраические дополнения
На практике при вычислении определителей порядка выше третьего используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.[pic 1]
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка . Вычеркнем в ней первую строку и второй столбец, тогда оставшиеся после вычеркивания элементы образуют матрицу второго порядка ,/ т.е. матрицу порядок которой на единицу меньше порядка данной матрицы. На пересечении вычеркнутых строки и столбца стоит элемент . Число, равное определителю матрицы , называется минором элемента . В матрице 32 = 9 элементов и каждый из них имеет свой минор. Дадим теперь общее определение минора.[pic 7][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
Определение 1. Минором элемента матрицы -го порядка называется число, равное определителю матрицы -го порядка, образованной элементами данной матрицы, оставшимися в ней после вычеркивания строки с номером и столбца с номером j.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
В матрице третьего порядка минором элемента будет число [pic 13]
.[pic 14]
Каждая матрица -го порядка имеет миноров -го порядка.[pic 15][pic 16][pic 17]
Определение 2. Алгебраическим дополнением (адъюнктом) элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком :[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
, [pic 22]
т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и
столбца - четное число, и противоположны по знаку, когда -нечетное число.[pic 23][pic 24]
ПРИМЕР. Найти и элементов матрицы .[pic 25][pic 26][pic 27]
РЕШЕНИЕ. Элемент и находится на пересечении третьей строки и второго столбца, значит [pic 28]
.[pic 29]
Для элемента , находящегося на пересечении второй строки и третьего столбца, получим:[pic 30]
, тогда .[pic 31][pic 32]
Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применений является основополагающая теорема о способе вычисления определителей.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы есть число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
...