Регрессионный анализ. Построение линейной и квадратичной регрессионных моделей

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ

РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

1. Задача регрессии для линейной функции.

Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии (1.61) является линейной функцией

y = β1 + β2 x ,        (1.69)

т.е. базисные функции ϕ1(x) = 1, ϕ2 (x) = x . В этом случае система (1.63) имеет вид

⎧        β n + β ∑ x = ∑Y[pic 1][pic 2]

⎪        1        2

⎨

i=1

i        i

i=1

(1.70)

n        n        n

⎪β ∑ x + β ∑ x 2 = ∑Y x

⎪⎩ 1

i

i=1

2

i=1

i        i i

i=1

Расчет упростится, если ввести замену

y = B + B X = B + B

[pic 3]

X = x − x

h[pic 4]

x − x ,[pic 5]

[pic 6]

и рассматривать уравнение

(1.71)

1        2        1        2        h

где

x =  1 n  x

n i=1[pic 7][pic 8][pic 9]

– среднее арифметическое аргументов х, h выбирается из условия, чтобы

значения Х были целыми не имеющими общего множителя. Уравнение (1.71) будем называть уравнением с кодированным переменным, в отличие от уравнения (1.69) с

реальным переменным. В этом случае

[pic 10]

∑ Xi = 0

i=1

и система (1.70) будет иметь вид

[pic 11]

B1n = ∑Yi[pic 12][pic 13]

⎨        i=1[pic 14]

⎪B ∑ x 2 = ∑Y x

⎪⎩ 2

i=1

i        i i

i=1

Откуда имеем формулы для оценок коэффициентов регрессии уравнения с кодированным переменным:

[pic 15]

∑Yi[pic 16]

B1 =  i=1         ,

n

∑ Xi i=1[pic 17]

2

(1.72)

Для контроля расчетов удобно воспользоваться свойством отклонений

ΔY = Y − ~        экспериментальных результатов Y от рассчитанных по оценкам (1.72)

i        i        Y (xi )        i

значений функции регрессии Y (xi ) = B1 + B2 xi :[pic 18]

[pic 19]

∑ΔYi = 0 ,        (1.73)

i=1

Дисперсия адекватности (1.66) для проверки адекватности линейной регрессионной модели вычисляется по формуле