Основні методи інтегрування

ЗМІСТ

1. Таблиця основних інтегралів        2

2. Основні методи інтегрування        4

3. Метод розкладання на суму        5

4. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування        8

1. Таблиця основних інтегралів

метод інтегрування функція

Щоб успішно застосовувати інтегральне числення під час розв’язування задач, необхідно насамперед оволодіти технікою знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Одним з основних моментів успішного оволодіння технікою інтегрування елементарних функцій є досконале знання таблиці основних інтегралів. Ця таблиця є сукупністю формул, які треба знати напам’ять, і складена за таблицею похідних з використанням властивості інваріантності формули інтегрування. Справедливість формул таблиці можна перевірити диференціюванням.

Нехай u=u(x) – довільна функція, що на проміжку Х має неперервну похідну u/(x). Тоді на цьому проміжку справедливі такі формули:

[pic 1]1.        .

[pic 2]2.        .

[pic 3]3.         ( -1).

[pic 4]4.        , або [pic 5] (u0).

[pic 6]5.        (a>0, a1), при а=е [pic 7].

[pic 8]6.        .

[pic 9]7.        .

[pic 10]8.        , де соsu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду [pic 11], n Z.

[pic 12]9.        , де sinu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду u=n, n Z.

[pic 13]10.        , або [pic 14].

[pic 15]11.        , або [pic 16].

[pic 17]12.        , або [pic 18].

[pic 19]13.        , або [pic 20], в інтервалі u (-a,a).

[pic 21]14.        .

[pic 22]15.        .

[pic 23]16.        , якщо під коренем знаходиться u2-a2, то |u|>|a|.

[pic 24]17.        .

[pic 25]18.        .

[pic 26]19.        .

Ця таблиця має такий вигляд і у випадку, якщо u = x, тобто u є незалежною змінною інтегрування.

Зупинимося детальніше на деяких формулах.

За формулою маємо [pic 27]. Функція [pic 28] визначена і неперервна х(-,0) (0,).

Якщо х>0, то однією з первісних є F(x)=lnx, оскільки [pic 29]. Отже, для х>0 [pic 30].

Якщо х<0, то однією з первісних для [pic 31] є F(x)=ln(-x), оскільки [pic 32]. Отже, для х<0 [pic 33].

Об’єднуючи ці два випадки, одержуємо формулу

[pic 34]

Або

[pic 35].

За формулою з п.13 маємо [pic 36]. Щоб переконатися у справедливості цієї формули, знайдемо похідну від правої частини

[pic 37].

За формулою з п.17 маємо [pic 38]. Доведемо її справедливість. Для цього перетворимо підінтегральну функцію

[pic 39].

Оскільки
dx=d(x-a)=d(x+a), маємо

[pic 40]

Інтеграли називаються табличними, за їх допомогою можна знаходити й інші інтеграли, і мета існуючих методів інтегрування полягає в тому, щоб звести шуканий інтеграл до табличного. У подальшому рамки наведеної таблиці інтегралів розширятимуться.

2. Основні методи інтегрування

Інтегрувати функції значно складніше, ніж диференціювати. При диференціюванні функції безпосередньо застосовуються основні формули диференціювання. При інтегруванні функцій безпосередньо застосувати основні формули можливо лише в окремих випадках.