Метод Нелдера – Мида

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет «Элитного образования и магистратуры»

Кафедра «Нефтегазового дела, стандартизации и метрологии»

Домашнее задание

по дисциплине: Основы научных исследований, организация и планирование эксперимента

Метод Нелдера – Мида

Вариант 27

Выполнил: ст. гр. НДм-191 Финаев А.М.

Проверила: асс. Кононова М.И.

Омск 2019

Общий алгоритм – операций:

1. Пусть f(x,y) функция, которую необходимо оптимизировать. На первом шаге выбираем три случайные точки и формируем симплекс (треугольник). Вычисляем значение функции в каждой точке: f(h), f(g), f(l).
2. Сортируем точки по значениям функции f(x,y) в этих точках, таким образом получаем двойное неравенство: f(h) > f(g) > f(l).
3. Находим центр тяжести всех точек (за исключением точки h).
4. Применяем операцию отражения (отражаем точку h относительно центра тяжести с). Находим точку , следующим образом:[pic 1]

.[pic 2]

где  – коэффициент отложения. Принимаем .[pic 3][pic 4]

1. Рассмотрим значение функции  в ряду f(h), f(g), f(l).[pic 5]

5.1)        Если f(h) > f(g) > f(l) > f(r), то это говорит о том, что направление выбрано удачно и можно провести симплекс. Тогда:

.[pic 6]

где  принимаем  т.е. расстояние увеличиваем в 2 раза.[pic 7][pic 8]

Если f(е) < f(r), то присваиваем точки h значение е (xh=xe) и переходим к пункту №9.

Если f(е) > f(r), то присваиваем точки h значение е (xh=xr) и переходим к пункту №9.

5.2)        Если f(h) > f(g) > f(r) > f(l), следовательно f(е) > f(r), (xh=xr)

5.3)        Если f(h) > f(r) > f(g) > f(l), то меняем местами значения xh↔xr, f(h) ↔ f(r) и переходим к пункту №9.

5.4)        Если f(r) > f(h)  > f(g) > f(l), то переходим к пунrту №6.

1. Применяем операцию сжатие. Находим точку , следующим образом:[pic 9]

,[pic 10]

где  принимаем .[pic 11][pic 12]

1. Если f(s) < f(h), то xh=xs и переходим к пункту №9.
2. Если f(s) > f(h), то xh=xs, то делаем редукцию симплекса в точке с наименьшим значением функции.
3. Проверка сходимости

[pic 13]

Если условие выполняется, то решение на этом заканчивается. Если нет, то возвращаемся к начальным пунктам и повторяем алгоритм.

Дано: , [pic 14][pic 15]

Эксперимент №1.

1. Задаем произвольные точки и вычисляем значения для данной функции:

.[pic 16]

Аналогично вычисляем для остальных:

1. Сортируем точки по значениям функции f(x,y) при f(h) > f(g) > f(l):

1. Находим центр тяжести

;[pic 17]

.[pic 18]

1. Применяем операцию отражения

;[pic 19]

.[pic 20]

1. Сведем результаты в таблицу

По полученным данным, . f(h) > f(g)  > f(r) > f(l), переходим к пункту №6.

1. Применяем операцию сжатие

;[pic 21]

.[pic 22]

1. f(s) < f(h), то xh=xs, переходим к пункту №9.

9)         Проверка сходимости

[pic 23]

Проверка на сходимость не выполняется , следовательно, выполняем эксперимент №2.[pic 24]

Для визуализации покажем эксперимент №1 в системе координат (рисунок 1)

[pic 25]

Рисунок 1 – Эксперимент №1.

Проделываем эксперимент №2 аналогично данному алгоритму:

Полученные результаты сводим в таблицу.