Логика алгебрасының формулалары

Логика алгебрасының формулалары

Жоспар:

1. Логика алгебрасы.

   2. Негізгі мәндестік формулалар (буль алгебрасының заңдары)

   3. Логикалық формулалардың классификациясы.

Логика алгебрасы.

Логика алгебрасы математикалық логиканың бір бөлімі. Логика алгебрасында  күрделі логикалық пікірлер (логикалық формулалардың) құрылымы және алгебралық әдістердің көмегімен олардың ақиқаттығын анықтау әдістері қарастырылады.

Бұл бөлімде негізінен логика алгебралық формулаларын  қарастыратын боламыз.  Қарастырылған логикалық амалдардың  көмегі арқылы жай пікірлерден күрделі пікірлер құруға болады. [pic 1]

Анықтама. Орындарына нақты пікірлерді қоюға болатын айнымалылар пропозицианалды айнымалылар немесе .

Бұл айнымалылар үлкен латын әріптерімен белгіленеді.

Анықтама. Пікірлер алгебрасының формулалары келесі түрде анықталады:  

Егер  және  - формулалар болса, онда[pic 2][pic 3]

    формулалар болады[pic 4]

Бұл анықтама индуктивті анықтама деп аталады.

Анықтама. Егер пікірлер алгебрасының  және  фомулаларының құрамына кіретін пропозиционалды айнымылылардың кез келген мәнінде F1 және  F2 формулаларының мәндері бірдей болса, онда бұл формулалар мәндес деп аталады. [pic 5][pic 6]

 Белгіленуі: F1≡ F2, F1<=> F2 

Кез келген күрделі пікір (формула) аргументтері 0 немесе 1 мәнін қабылдайтын (бір-біріне тәуелсіз) фнкцияны анықтайды, ал функцияның өзінің мәні {1, 0} жиынына тиісті болады. Мұндай функциялар буль функциялары деп аталады.

Мысал. [pic 7]

Негізгі мәндестік формулалар (буль алгебрасының заңдары)

A, B, C – буль  функциялары болсын.

Теорема: A, B, C – буль  функциялары үшін келесі мәндестіктер тура болады:

1. Коммутативті:          [pic 8]
2. Ассоциативті:          [pic 9]
3. Дистрибутивті:     [pic 10]

           [pic 11]

1. Де Морган заңдары:                  [pic 12][pic 13]
2. Екі рет терістеу заңы (инволюция):        =A     [pic 14]
3. Жұтып қою заңы:        [pic 15][pic 16]
4. Идемпотентті заңы:              [pic 17]
5. Үшіншіні жоққа шығару заңы:           [pic 18]
6. Қарама- қайшылық заңы:            [pic 19]
7.  0 мен 1 константаларының қасиеттері:

          [pic 20]

        [pic 21]

1. Импликация заңы   [pic 22]
2.     [pic 23]

      Негізгі мәндестіктер арқылы берлген формуланы түрлендіріп, ықшамдауға болады. Формулаларды ықшамдаған кезде  [pic 24] (яғни  логикалық көбейту)   ең күшті операция болып есептеледі, одан кейін  [pic 25] (яғни,  логикалық қосынды) болады, ал [pic 26] келесі ретте орындалады.