Логарифмічний лишок. Підрахунок числа нулів і полюсів аналітичної функції
Автор: olesia444 • Май 25, 2019 • Реферат • 1,054 Слов (5 Страниц) • 459 Просмотры
Логарифмічний лишок. Підрахунок числа нулів і полюсів аналітичної функції.
Нехай функція аналітична всюди в однозв’язній області , за винятком скінченного числа ізольованих особливих точок , причому усі є полюсами. Припустимо, що на межі області функція не має ані нулів, ані особливих точок. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
Логарифмічною похідною функцією називається похідна функція [pic 9][pic 10]
[pic 11]
Вона є однозначною аналітичною функцією всюди, за винятком особливих точок і нулів функції .[pic 12]
Логарифмічним лишком функції в точці називається лишок в цій точці логарифмічної похідної функції , тобто
[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
За основною теоремою 7.1 логарифмічних лишків функції в області дорівнює . Цю величину називають також логарифмічним лишком функції відносно замкненого контура .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
Аналіз розвинень логарифмічної похідної в ряд Лорана в околі нулів і полюсів функції приводить до наступного результату.[pic 23][pic 24]
Теорема ?.?. Нулі і полюси функції незалежно від їх порядку є простими полюсами логарифмічної похідної . У нулі порядку (кратності) логарифмічний лишок , а у полюсі порядку логарифмічний лишок . [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
Наприклад, функція має нескінчену кількість простих нулів та один полюс 5-го порядку. Отже, .[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]
На підставі теореми ?.?. та основної теореми 7.1. Коші про лишки можна підрахувати число нулів і полюсів аналітичних функцій в заданих областях. При цьому кожен нуль або полюс рахується стільки разів, який його порядок.
Приклад ?.?. Знайти логарифмічний лишок функції відносно її нулів та полюсів.[pic 40]
Розв’язання. Дана функція має нескінчене число простих нулів і один простий полюс . Звідси [pic 41][pic 42]
[pic 43]
Повним числом нулів (повним числом полюсів) функції називається число нулів (полюсів) з урахуванням їх кратності. Отже, якщо – порядок нуля , а – порядок полюса , то [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
Має місце теорема.
Теорема ?.?. (про логарифмічний лишок). Нехай функція аналітична в області за винятком скінченого числа полюсів, неперервна на її межі й в жодній точці цієї межі не дорівнює нулю. Тоді різниця між повним числом нулів і повним числом полюсів функції в області дорівнює логарифмічному лишку функції відносно :[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]
[pic 63]
Наслідок. Якщо функція аналітична в області , то вона не має в цій області особливих точок, отже, й повне число нулів цієї функції всередині замкнутого контура є[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
[pic 68]
Зауваження. Теорема справедлива також й для многозначної області.
Логарифмічний лишок многочлена
[pic 69]
відносно контура дорівнює числу нулів цього многочлена (з врахуванням їх кратності) в області , обмеженій контуром .[pic 70][pic 71][pic 72]
Приклад ?.?. Знайти логарифмічний лишок функції відносно кола .[pic 73][pic 74]
...