Кінематичний метод розв'язання

4.Теорія швидкостей

Швидкість нерухомої точки визначається за формулою (5).

Теорема 5.

Швидкість нерухомої точки ввесь час рівна нулю.

Теорема 5’.

Якщо швидкість точки ввесь час рівна нулю, то точка залишається нерухомою.

Теорема 6.

Нехай r_1=r_1 (t), r_2=r_2 (t), r=r(t)- радіуси-вектори точок М1, М2 , М відповідно. Якщо точки рухаються так, що ввесь час r=r_1 r_2 то їх швидкості поєднані аналогічним співвідношенням:

ʋ=ʋ_1+ʋ_2 (7)

Теорема 7.

Нехай r_1=r_1 (t), r_2=r_2 (t)- радіуси-вектори точок М1, М2 відповідно. Якщо точки рухаються так, то весь час

r_2=ʌr_1

де ʌ - стале число, то їх швидкості пов’язані аналогічним співвідношенням

ʋ_2= ʌʋ_1 (10)

Теорема 8.

Нехай r_1=r_1 (t), r_2=r_2 (t) – радіуси-вектори точок М1, М2 відповідно. Якщо точки рухаються так, що весь час

r_2=U_a r_1

де а постійний кут, то їх швидкості пов’язані аналогічним співвідношенням

ʋ_2=U_a ʋ_1 (11)

5. Швидкості

Нехай r=r(t)- радіус-вектор рухових точок М. Розглянемо переміщення (M_0 M_1 ) ̅=△r точки за який період часу [t_0,t_1 ](рис.31). Проведемо дугу кола з центром в полюсі О і радіусом OM_0. Вона перетне промінь ОМ1 в точці М*. Очевидно

△r=(M_0 M_1 ) ̅=(M_0 M^* ) ̅+(M^* M_1 ) ̅(12)

Переміщення (M_0 M^* ) ̅ не змінює відстані рухаючої точки М від полюса О і пов’язана тільки з поворотом променя ОМ. Переміщення (M^* M_1 ) ̅ пов’язано тільки зі зміною відстані точки М від полюса. Поділимо дві частини рівності (12) на △t= t_1-t_0 і переходячи до границі при △t⟶0, отримаємо:

ʋ=lim┬(△t⟶0)⁡〖(M_0 M^* ) ̅/(△t)〗+lim┬(△t⟶0)⁡〖(M^* M_1 ) ̅/(△t)〗

(13)

Перша з границь, яка знаходиться в рівності (13) праворуч називається трансверсальною швидкістю точки М і позначається ʋ_τ, драга називається радіальною швидкістю точки М і позначається ʋ_⍴.

Тому ʋ=ʋ_1+ʋ_⍴ (14).

Формула (14) дає розклад вектора швидкості на радіальну та трансверсальну змістову (рис.32). Ці змістові взаємно перпендикулярні.

Радіальна швидкість є швидкістю зміни відстані точки М від полюса О або, теж саме що, - швидкість зміни довжини радіуса-вектора (ОМ) ̅. Вона направлена вздовж цього вектора , якщо ОМ зростає, і в іншу сторону, якщо ОМ спадає.

Позначимо проекцію вектора швидкості точки М на вісь, яка визначається вектором (ОМ) ̅, через ʋ_⍴. Очевидно,

ʋ_⍴=±|ʋ_⍴ |

де плюс береться у випадку зростання ОМ, а мінус – у випадку спадання.

Якщо точка М рухається по колу з центром в полюсі, то її повна швидкість співпадає з трансверсальною:

ʋ=ʋ_τ, ʋ_⍴=0

Якщо точка рухається по променю, який виходить з полюса, то її повна швидкістю співпадає з радіальною:

ʋ=ʋ_⍴, ʋ_τ=0.

6.Кутова швидкість

Розглянемо обертання променя ОМ навколо його початкової точки О.Нехай за проміжок часу |t,t+∆t| промінь повернувся на кут △φ. Середньою кутовою швидкістю променя за проміжок часу |t,t+∆t| називають відношення:

ω_ср=(△φ)/(△t)

Границя середньої кутової швидкості ω_ср при ∆t⟶0 називається (моментальною) кутовою швидкістю променя і позначається просто ω:

ω=lim┬(∆t⟶0)⁡〖ω_ср 〗=lim┬(∆t⟶0) (△φ)/(△t).

Кутова швидкість – це не вектор, а число. Вона додатна, якщо поворот променя відбувається в додатному напрямку, і від’ємна, якщо промінь обертається у від’ємному напрямку.

Для кутових скоростей справедливі наступні теореми, аналогічні теоремам про швидкість точок.

Теорема 9.

Кутова швидкість променя ввесь час рівна нулю тоді і тільки тоді, коли промінь ввесь час неруховимий.

Теорема 10.

Кутова