Комплексні числа. Невизначені та визначені інтеграли

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

ТИПОВІ РОЗРАХУНКИ № 3

з вищої математики

Тема: "Комплексні числа. Невизначені та визначені інтеграли."

Варіант № 1003

Викон.: ст. гр.  

ДИМИТРЕНКО О. І.

2019 р.

Завдання 1. Комплексні числа.

а) Подати число [pic 1] в алгебраїчній формі та зобразити його на комплексній площині.

[pic 2]

Алгебраїчна форма комплексного числа має вигляд

[pic 3]

Для того щоб подати число [pic 4] в алгебраїчній формі, потрібно виконати дію ділення над комплексними числами.

Помножимо чисельник та знаменник дробу на число, спряжене знаменнику дробу:

[pic 5]

Окремо перемножимо комплексні числа в чисельнику

[pic 6]

[pic 7]

та в знаменнику

[pic 8]

[pic 9]

Запишемо кінцеву відповідь

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

b) Обчислити число [pic 14] 

[pic 15]

Скористаємося формулою Ейлера

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

c) Обчислити всі значення кореня [pic 22] 

[pic 23]

Корені степеня n з комплексного числа z визначаються за формулою

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Загальна формула

[pic 29]

k=0

[pic 30]

[pic 31]

k=1

[pic 32]

[pic 33]

k=2

[pic 34]

[pic 35]

k=3

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

d) Обчислити число [pic 39] 

[pic 40]

Скористаємося формулою Муавра

[pic 41]

Знайдемо модуль та аргумент числа

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]                                        

Завдання 2. Обчислити невизначені інтеграли. В п. a ) та b) результати перевірити диференціюванням.

a).

[pic 48]

Зробимо заміну

[pic 49]

Отже

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

b).

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

Поверенемось до початкової змінної

[pic 81]

Перевіримо результат диференціюванням

[pic 82][pic 83][pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

c)

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]