Комплекс сандар

Сегізінші апта

№8 дәрістің тақырыбы: Комплекс сандар

Дәріс мазмұны:

1. Комплекс сандардың негізгі ұғымдары

2. Комплекс сандардың геометриялық кескіні.

3. Комплекс сандардың әр түрлі формада жазылуы.

Комплекстік айнымалы және комплекс функциялар. Комплекс сандар.

[pic 1]түрде берілген өрнекті комплекс сан деп атайды, мұндағы  a және b — нақты сандар, ал i — арнайы символ.

 Кез келген [pic 2], [pic 3] комплекс сандар үшін келесі амалдар енгізілген:

1. [pic 4] комплекс сандар өзара тең болады, сонда тек сонда, егер [pic 5], [pic 6] болса және келесі теңдіктер орындалады:

[pic 7], [pic 8], [pic 9], [pic 10];

1. Комплекс сандардың қосындысы және айырмасы:

[pic 11];

1. Комплекс сандардың көбейтіндісі:

[pic 12].

1) және 3) ережелерден

[pic 13]шығады.

Енгізілген операциялар нақты сандар үшін келесі қасиеттерді қанағаттандыралады:

[pic 14],

[pic 15],

[pic 16],

[pic 17],

[pic 18].

[pic 19] теңдігінен нақты сандар жиыны комплекс сандар жиынының ішкі жиыны болып шығады.[pic 20]

Егер  жазықтықта OXY декарт жүйесін таңдасақ, онда барлық [pic 21]комплекс сандар және барлық [pic 22] нүктелер арасында [pic 23]өзара бірмәнді сәйкестілігі орнатылады.

Сонымен, [pic 24] комплекс сандарды геометриялық түрде  [pic 25] нүктелерімен немесе [pic 26] вектор арқылы бейнелеуге болады. [pic 27] нақты сандар OX өсінің нүктелерімен бейнелейді, яғни OX өсі нақты өсі деп, ал  [pic 28] санын жорамал сан деп атайды. Олар OY өсінің нүктелерімен бейнелейді. Бұл өсті жорамал өсі деп атайды. x санын [pic 29]комплекс санының нақты бөлігі, ал   y — жорамал бөлігі деп атайды және де [pic 30], [pic 31]символдарымен жазылады.

[pic 32] сан[pic 33]комплекс санына түйіндес сан деп аталады. [pic 34] және [pic 35] түйіндес сандар нақты өсіне қарағанда симметриялы бейнелейді. Комплекс сандар көбейту анықтамасынан [pic 36]шығады.  [pic 37] нақты сан комплекс санының модулі деп аталады. Бұдан [pic 38]екендігін көреміз.

 [pic 39] және [pic 40] комплекс сандардың бөліндісінің операциясы көбейтіндісіне кері деп саналады: [pic 41] санын [pic 42] және [pic 43] [pic 44] сандардың бөліндісі деп аталады, егер  [pic 45] ([pic 46] жазылады).  [pic 47], онда [pic 48]. Көбейту ереже бойынша

[pic 49]                

[pic 50]        (1.1)

Келесі теңдіктер дұрыс болады:

[pic 51], [pic 52], [pic 53],

[pic 54], [pic 55], [pic 56].

[pic 57], [pic 58], [pic 59].

Мысал 1.1. [pic 60], [pic 61] сандар берілген.  [pic 62] және [pic 63]табыңыз.

Шешуі. [pic 64].  (1.1) формула бойынша

[pic 65]болады.

Комплекс санның тригонометриялық түрі.

Аргумент және аргументтің бас мәні.

z санының [pic 66] түрін алгебралық түрі деп атайды. Кейбір жағдайларда комплекс сандар полярлық координаттарда жазылады. Поляр осін OX оң жартыосімен, ал полюсті — координаталар басымен қиылыстырамыз. Сонда,  [pic 67] арқылы -[pic 68] нүктесінен координаталар басына дейінгі арақашықтығын , ал ϕ  арқылы — [pic 69][pic 70] нүктесінің полярлық бұрышты  белгілесек, онда