Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

При классическом определении вероятность случайного события определяется равенством

[pic 1],

где m – число возможных элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания.

При этом предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу событий и равновозможны.

Пример 1. В ящике 12 шаров: 5 белых, 2 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из ящика два белых шара?

Решение. Число всех исходов

[pic 2]

Число исходов, благоприятных событию А:

[pic 3]

Таким образом, [pic 4]

Пример 2. Из колоды в 52 карты вынимают наугад три карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Решение. [pic 5].

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы двух случайных событий А и В

[pic 6].

Если события А  и В несовместны, то

[pic 7]

Условной вероятностью [pic 8] случайного события А относительно события В называется вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что имело место событие В.

События А и В называются независимыми, если

[pic 9]

Вероятность произведения событий А и В

[pic 10]

Если события А и В независимы, то

[pic 11]

Пример 3. Из общего числа конденсаторов, находящихся в магазине, 60% рассчитаны на рабочее напряжение в 200 В, 30% – на 400 В, а остальные на 600 В. Какова вероятность того, что взятый наугад конденсатор окажется рассчитанным на напряжение не менее 400 B?

Решение.

Событие А – взят конденсатор, рассчитанный на напряжение 400 В.

Событие В – взят конденсатор, рассчитанный на напряжение 600 В.

[pic 12] [pic 13]

События А и В несовместны.

[pic 14]

Пример 4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.

Решение.

Событие А – мишень поражена первым стрелком.

Событие В – мишень поражена вторым стрелком.

[pic 15] [pic 16]

События А и В независимы.

[pic 17]

Если по условию задачи требуется найти вероятность появления хотя бы одного из случайных событий A1, A2, …, An, независимых в совокупности, то следует найти вероятность противоположного события, равного произведению вероятностей событий•[pic 18] и отнять еe от единицы

[pic 19]

Пример 5. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: 0,1; 0,15; 0,2.

Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение.

Событие A1 – отказал первый элемент.

Событие A2 – отказал второй элемент.

Событие A3 – отказал третий элемент.

[pic 20] [pic 21] [pic 22]

Тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один из элементов. Искомая вероятность

[pic 23]

Пример 6. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число является кратным либо двум (событие А), либо пяти (событие В), либо тому и другому.