Исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического управления

Лабораторная работа № 1

Содержание

        Цель работы - исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического управления.

Основные сведения из теории

Первоначальным этапом при проектировании систем автоматического управление является построение модели объекта управления (ОУ). Модель объекта управления представляется в алгебраической, физико-математической форме. Полученное математическое описание для дальнейшего изучения приводится к виду понятному для специалистов в области теории управления.

         На сегодняшний день, в теории управления наиболее распространены три формы представления ОУ:

- Передаточная функция (ПФ);

- Форма пространства состояний (ФПС);

- Дифференциальные уравнения (ДУ).

Форма пространств состояний

Одной из стандартных форм представления в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.

        [pic 1]        

 где [pic 2], [pic 3] – вход и выход соответственно; [pic 4] – вектор состояний;

А – матрица коэффициентов (состояний), dim A=𝑛𝑥𝑛.

В – матрица входа (управления), dim B =𝑛𝑥𝑚.

С – матрица выхода (наблюдения) , dim C =𝑟𝑥𝑛.

D – матрица обхода (сквозной передачи управления), dim D=𝑟𝑥𝑚.

Переход от ДУ к ПФ

Математические модели объектов управления и других функциональных элементов, а также систем автоматического управления в целом часто представляются совокупностью тем или иным образом связанных между собой простейших, типовых звеньев. ПФ любой линейной системы может быть разложена на ПФ ограниченного числа таких звеньев.

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выхода и входа при нулевых начальных условиях:

[pic 5] ,                                                         (1.1)

где [pic 6] выход объекта ОУ; [pic 7] вход ОУ.

Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами записывается:

[pic 8]                                (1.2)

Введем [pic 9] , тогда обычное ДУ можно записать в виде:

[pic 10]                                                (1.3)

где [pic 11] и [pic 12] - операторные полиномы.

Применив преобразование Лапласа к уравнению (1.3) при нулевых начальных условиях, получено следующее уравнение:

[pic 13]                                                (1.4)

Из определения ПФ и полученного уравнения следует, что ПФ достаточно просто записывается по ДУ.

        [pic 14]         (1.5)

И по передаточной функции можно легко записать ДУ.

        [pic 15]         (1.6)

Алгоритм перехода от ДУ к ПФ

1. К ДУ применить преобразование Лапласа и записать по форме 1.4 .
2. Выделить полученные полиномы А(s) и B(s).
3. Записать ПФ по форме 1.5.

Алгоритм перехода от ПФ к ДУ

1. Привести ПФ к форме 1.4.
2. Применить обратное преобразование Лапласа.
3. Записать ДУ по форме 1.2.

Переход от ФПС к ПФ

Используя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для модели объекта в пространстве состояний

        [pic 16]        (1.7)

Применим преобразование Лапласа к каждой части уравнения, тогда получим:

        [pic 17]        (1.8)

Запишем левую часть первого уравнения в следующем виде:

        [pic 18]        (1.9)

где [pic 19] - единичная матрица.

Умножив обе части уравнения (1.9) на [pic 20] слева, получим следующее выражение для [pic 21]:

[pic 22]

Подставим его во второе уравнение (1.8) и получим:

[pic 23]

Таким образом, передаточная функция определяется следующим образом:

        [pic 24]        (1.10)

Использование средств MATLAB/Simulink

Представление ПФ при помощи программных средств MATLAB/Simulink возможно тремя способами: