Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений

Лекция №3.3. Интегрирование тригонометрических и

иррациональных выражений.

1. Интегрирование тригонометрических выражений.

1. Интегралы вида

 sin kx sin mxdx,  cos kx cos mxdx,  sin kx cos mxdx

Для сведения таких интегралов к табличным пользуются формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

[pic 1]

Пример.

 cos 5x cos 2xdx = 1  (cos 3x + cos 7x )dx = 1  cos 3xdx + 1  cos 7xdx =[pic 2][pic 3][pic 4]

2        2         2 

= 1 sin 3x +  1 sin 7x + C .[pic 5][pic 6]

# 5        # 5

6        14

1. Интегралы вида

1. m – нечётное, то[pic 7]
2. n – нечётное, то[pic 8]

 sinm kx cosn kxdx

(m,n  )

1. m,n – чётные, то используют формулы понижения степени:[pic 9]

Примеры.

1.

t2

t  =  sin x        

        [pic 10][pic 11]

 sin2 x cos3 xdx  =   sin2 x cos2 x cosxdx        dt  = (sin x ) dx  =  cos xdx

dt        



2        2        2

 cos[pic 12][pic 13]



x = 1  sin

x = 1  t 



=  t2 (1  t2 )dt =  (t2  t4 )dt =  t2dt   t 4dt = t3  t5 + C =[pic 14][pic 15]

= sin3 x  sin5 x + C .[pic 16][pic 17]

3        5

                3        5

#1        #1

2.

 cos2 5xdx =  1 + cos10x dx =   1 + 1 cos 10 

= 1  dx + 1  cos 10xdx =

2         2        2

x dx

2         2 

= x +[pic 18]

1 sin 10x + C .[pic 19]

        

#1        # 5

2        20

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегралы вида

 R (sin x, cos x )dx , где

R (sin x, cos x )

- рациональное

выражение        с        синусом        и        косинусом,        сводятся        к        интегралу        от рациональной дроби с помощью универсальной подстановки:[pic 20]

:[pic 21]

        x 

[pic 22]

x        x        x

[pic 23][pic 24][pic 25]

sin x =

sin 2  2 

=[pic 26]

2 sin        cos

2        2[pic 27]