Инверсия, ее аналитическое выражение. Свойства инверсии

Костанайский  государственный педагогический  институт

                          Факультет Дистанционного обучения

Кафедра математики

Калиев  Кабдрахман  Ануарбекович

Специальность 5В010900 «Математика»,

Дисциплина «Аналитическая геометрия »

Тема:   Инверсия, ее аналитическое выражение. Свойства инверсии.

                                                                                          Научный руководитель:

                                                                                   Старший  преподаватель

                                                                     Беркімбай         Р. Ә                              

г Костанай  2018 г

Содержание работы

1. Введение. _________________________________________________
2. Определение инверсии.______________________________________
3. Аналитическое  выражение  инверсии______________________
4. Свойства инверсии и построение._____________________________
5. Применение инверсии к решению

задач на построение и доказательство.__________________________

7Заключение.__________________________________________________

8Литература.__________________________________________________

Введение.

       В  аналитической геометрии главную роль имеют  различные преобразования геометрических  фигур. Главной особенностью таких преобразований является сохранение  природы простых  геометрических видов : когда прямые преобразуются в прямые, а окружности преобразуются  в окружности. Понятие  инверсия представляет одно из  сложнейших  преобразований геометрических фигур, когда   прямые  сами могут переходить в окружности , а окружности в прямые. Этот подход позволил применить в  задачах  элементарной геометрии единообразные  методы изучения. Это, как правило прежде всего, относится к сложным  задачам на построение и  к самой  теории пучков окружностей.

Применение свойств  инверсии позволил получить сравнительно простейшие решения самых  сложных  задач  аналитической геометрии. Цель данной курсовой работы – изучение  свойства инверсии, рассмотрение и решение методом инверсии наиболее сложных задач аналитической геометрии. Этот метод решения является эффективным среди остальных методов задач на построение, которые играют серьезную роль в подготовке учащихся , поскольку дает различный  материал для развития математических и логических способностей учащихся.        В работе представлено ряд решений  таких  задач,  которые решаются с помощью инверсии.

Работа включает в себя следующие разделы  введение, заключение и список используемой литературы.

1.Определение понятия  инверсии

       Давайте рассмотрим на примере  плоскости  окружность ω с центром в точке О и радиусом R , и произвольную точкуА1, отличную от центра О. Рассмотрим определение.

      Определение. Точка  А2 являясь  симметричной  точке А1 относительно этой окружности ω с центром в точке О и радиусом κ , поскольку точка А2  лежит на  данном луче ОА1 и ОА1     ∙  ОА2  = R2

Из  этого определения следуют  данные  утверждения.

1.Для каждой точки плоскости, кроме центра  O,  имеется единственная точка,  которая  будет симметрична   ей   по отношению  к    окружности  ω.[pic 1]

2. Для центра же O окружности данной    точки не существует.

3.Если же  точка A2  является симметричной  точке A1 относительно данной окружности ω, то тогда точка A1  будет симметрична  этой точке A2 

4.Любая  точка, которая сама  лежит на данной окружности ω, симметрична себе.

5.Поскольку  A1 и A2 — разные симметричные точки, то значит одна из них лежит внутри данной  окружности ω, а другая  лежит  снаружи.