Жиындар және олардың эквиваленттілігі. Сандық жиындар және олардағы аксиомалар

Жиындар және олардың эквиваленттілігі.

Сандық жиындар және олардағы аксиомалар.

Анықтама:

А және В жиындары берілсін. Егер осы екі жиынның арасында өзара бір мәнді [pic 1] сәйкестігі табылса, онда А жиыны В жиынына эквиваленттті дейміз.

А[pic 2]

Мысалы:

[pic 3] эквивалентті емес.

[pic 4] эквивалентті себебі:

[pic 5] яғни В

[pic 6] функциясы

[pic 7]

Анықтама:

[pic 8]

Егер берілген А жиыны үшін табылса,[pic 9] натурал сан [pic 10], онда А жиынын «ақырлы жиын» деп атайды.

Анықтама:

А жиынын саналатын жиын дейміз. Егер А жиыны эквивалентті болса, мына жиынға А[pic 11]

Анықтама:

[pic 12][pic 13] рационал сандар яғни бөлшек сандар.

Осыдан басқа сандарды [pic 14] ирроционал сандар дейміз, яғни түбір сандар [pic 15] т.с.с.

Анықтама 1

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Қосу амалының аксиомалары

[pic 19]

1

[pic 20]реттелген а және в ех үшінші элементті сәйкестендіретін екі айнымалы [pic 21] функциясы болсын

[pic 22]

2. [pic 23] а, в элементтері үшін

[pic 24]

3.

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

        [pic 28] болсын

4

[pic 29]

5

[pic 30]

Қойылатын талап:

[pic 31]

[pic 32]

Көбейту амалының аксиомалары:

6

[pic 33] реттелген а және в [pic 34]үшін

[pic 35]

7

[pic 36]

8

[pic 37]

9

[pic 38]-бірлік элементі.

10

[pic 39]

[pic 40]

Қойылатын талап:

[pic 41]

11

[pic 42] яғни [pic 43]

[pic 44]

Реттеу аксиомалары:

12

[pic 45]

[pic 46]

13

[pic 47]

14

[pic 48]

15

[pic 49]

Архимед аксиомалары:

16

0        а        2ав        3а        4а

а, в [pic 50]к натурал элемент

[pic 51]

17

[pic 52] шенелген жиынның ең үлкен және  ең кіші жоғарғы және төменгі шекаралары бар.

Санды жиындар,  ақырсыз сандар, жоғарғы және төменгі шекаралар, шенелген жиындар, ең кіші және ең үлкен элементтер. Өмірде немесе тіршілікте жиындардың түрлері өте көп олар өздерінің әртүрлі қасиеттерін орындайтындығымен ерекшеленеді. Сол жиындардың ішінен бізді сандық жиындар деп аталатын жиындар өте қызықтырады.

Анықтама

Жоғарыда айтылған 17 аксиоманы қанағаттандыратын жиынды [pic 53] сандық жиын деп, осы, жиынның элементтерін сандар дейміз. Келешекте сандар жиынында өте жиі кездесетін кейбір қасиеттерді белгілі бір символдармсен қысқаша жазып, үйренгеніміз жөн. Сондай символдарға [pic 54] символдары жатады. Бұндай символдар сандар жиынында қолданылатындықтан, оларды осы сандар жиынының элементі ретінде қарастыруға болады. Сол себептен осы символдарды ақырсыз сандар деп атап, келесі қасиеттерді орындалады деп ұйғарамыз.

1

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

2

[pic 58]

[pic 59]

3

[pic 60]

[pic 61]

Анықтама:

[pic 62] сандар [pic 63] санын Е жиынының жоғарғы шекарасы дейміз. Егер [pic 64] орындалса.

Мысалы:

[pic 65]

Анықтама

[pic 66] орындалғандықтан, [pic 67] жоғарғы шекара емес.

[pic 68]жиынында жатады, Себебі:

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71] жатпайды.

Дәл осылай төмеңгі шекараның анықтамасын беруге болады.

Мысалы:

[pic 72] осы жиынның жоғарғы шекарасын тап.

[pic 73]

берілген Е жиынының жоғарыдан шенелген дейміз. Егер табылса  [pic 74] аспаса