Классикалық талдау әдістерімен тиімділеу есептерін шешу

1-ші тәжірибелік сабақ. Классикалық талдау әдістерімен тиімділеу есептерін шешу.                                                                

Тапсырма

 Келтірілген мысалды және теориялық мәліметтерді пайдаланып, берілген тапсырманы орында.    

Әдістемелік нұсқаулар:

Бұл әдіс үздіксіз сызықсыз функцияны зерттеуге арналған және оның экстремумын табу үшін қолданылады. Өйткені, функцияны классикалық талдау әдістерімен экстремумға зерттеу – бұл жоғарғы математика курсынан белгілі мәліметтер, мұнда тек әдістің негізгі жағдайларын еске түсірумен шектелеміз және ең бастысы тәжірибелік тұрғысына көңіл бөлеміз

Егер F(x) – бір айнымалы функция болса, онда оны экстремумға зерттегенде келесі қажетті және жеткілікті шарттар орындалуы тиіс

Бірінші ретті қажетті шарттар.

F(x) функциясының экстремумын келесі нүктелерден іздеу қажет: оның туындысы нолге тең болатын, ол нүктемен жанама арасындағы бұрышта функция максимум не минимумға ие болатын, және ОХ осьі нолге тең болса, ал туындысы осы бұрыштың тангенсының мәніне (tg0 = 0)  тең болады,

яғни F(x) функциясының экстремумы деңгей түбірінің мәніне сәйкес келеді.                                                              

[pic 1]                                                       (1)

Туындысы нолге тең болатын нүктелер стационарлы деп аталады. Қажетті шарт (1) жеткіліксіз. Мысалы, функция берілген

                                                            F(x) = x3     

Бұл функцияның туындысы  [pic 2], бұл х = 0 болғанда нолге  ұмтылады, бірақ бұл нүктеде функцияның экстремумы болмайды. Бұл иілу нүктесі. (1) шарт тек стационарлы нүктелерді ғана анықтайды, бірақ олардың сипатын анықтамайды. Бұл шарт максимум, минимум және иілу нүктелері үшін бірдей.

Экстремумның қажетті шарты.

Экстремум нүктесінде функцияның сипатталуы үшін жеткілікті шарттар да болуы керек. F(x) функциясы  [pic 3] стационарлы нүктесінде шартсыз жергілікті минимумға (максимумға) ие болса, онда оның   [pic 4] нүктесінде екінші туындысы оң (теріс) болуы жеткілікті:

                                  [pic 5]             > 0      [pic 6]            < 0                                  (2)   [pic 7]

                                               х =[pic 8]                                х =[pic 9]

Стационарлы нүктеде және F(x) функциясының екінші туындысы нолге ұмтылған жағдайды қарастырайық:

Келесі функция берілсін:     F(x) = x6

     Онда [pic 10]       = 0                 [pic 11]        = 0    [pic 12]

                               х=0                                                    х=0

Мұндай функциялар үшін келесі теорема тура болады.

Теорема:  F(x) функциясы, L жиынында анықталған болсын, кейбір  [pic 13] нүктелерінде К-шы ретке дейін үздіксіз туындысы бар.  

                                  [pic 14]            [pic 15]

Сонда, егер К – жұп сан болса, онда  F(x) функциясы  [pic 16] нүктесінде жергілікті (локальный) максимумға ие болады

                                                      Fk(x) < 0

және  жергілікті минимумға

                                                             Fk(x) > 0

Егер К тақ болса, онда  F(x) , [pic 17] нүктелерінде не максимумға не минимумға ие болмайды.

1-ші мысал:   х = 0 нүктесінде келесі екі функцияны қарастырамыз:

                                          F(x) = x3;                   F(x) = x6;  

                 [pic 18]              [pic 19]              [pic 20]

Бірінші функция үшін  х = 0 нүктесінде бірінші және екінші туынды нолге тең. Үшінші туындысы нолге тең емес, яғни бұл функция үшін К=3. Бұдан  х=0 нүктесінде  х3 функциясы үшін не максимум, не  минимум болмайды.

Егер екінші F(x)=x6  функцияның туындысын қарастырсақ, онда бірінші, екінші, үшінші, төртінші және бесінші туындысы х=0  нүктесінде нолге ұмтылады және алтыншысы, яғни соңғы жұп туынды тек нолге тең емес, нолден үлкен болады.  Бұдан  К=6>0 болғандықтан, жоғарыда айтылған теоремаға сәйкес х=0 нүктесінде  F(x)=x6 функциясының минимумы болады.