Проектування дискретних фільтрів по аналоговому еквіваленту

Лабораторна робота №4

Тема заняття :Проектування дискретних фільтрів по аналоговому еквіваленту

1. Метою роботи є:

- дослідження та шляхом моделювання перевірка ефективності методик розрахунку дискретних фільтрів по аналогових еквівалентах, дослідження отриманих частотних  характеристик дискретних фільтрів;

- отримати навички в розрахунку дискретних фільтрів на основі білінійного перетворювання;

- отримати навички в розрахунку дискретних фільтрів з використанням пакета SciLab.

2. Короткі відомості з теорії

Існує кілька підходів до проектування цифрових фільтрів. Один з най- розповсюджених полягає в наступному.

1. Визначають передатну функцію аналогового фільтра [pic 1], що задовольняє вимогам частотної обробки сигналів, тобто задані інтервали частот затримки й  частот пропускання, задані  допустимі величини амплітудних спотворень сигналів у смузі пропускання й затримки.

2. По заданій передатній функції [pic 2] визначають дискретну передатну функцію фільтра [pic 3], що задовольняє вимогам, висунутих до фільтра [pic 4].

Перехід від [pic 5]до [pic 6] можна здійснити трьома шляхами:

- апроксимацією Ейлера;

- інваріантним перетворенням імпульсної перехідної функції;

- за допомогою білінійного z-перетворення.

Відомо, що метод перетворення імпульсної перехідної функції базується на зв'язку точок площини S з точками площини Z, обумовленої відношенням

[pic 7],        (1)

де, [pic 8] - кут між дійсною віссю площини Z і векторами, що визначають точки на окружності одиничного радіуса площини Z.

З (1) випливає, що зв'язок між точками площини S і Z неоднозначна, що вносить накладання й може спотворити результати, тобто синтезований у такий спосіб цифровий фільтр не буде адекватний його аналоговому прототипу. Дійсно, частот [pic 9]; [pic 10] і [pic 11] на площині Z відображатися в одну крапку z=1.

Для виключення небажаного ефекту накладення використовується білінійне z-перетворення, що однозначно перетворить точки мнимої осі площини S на точки мнимої осі площини Z. Таким чином, перехід від уявної осі площини S на площину Z  здійснюється двома перетвореннями: виразами (1) і (2). Вираз (1) перетворить уявну вісь площини S в окружність одиничного радіуса площини Z, а вираз (2) перетворить уявну вісь площини S в уявну вісь площини Z. Останнє перетворення (вираз (2) відомо як W перетворення й площина Z при такому перетворенні позначається як площину W.

[pic 12].        (2)

Вирішуючи рівняння (2) відносно z одержимо вираз, що визначає перехід від площини W до площини S

[pic 13].        (3)

Використовуючи співвідношення (2-3) обґрунтуємо методику розрахунку цифрових фільтрів, що не  відрізняється від розглянутої раніше й складається з наступних кроків.

1. Виходячи з технічних вимог, визначаємо передатну функцію необхідного аналогового фільтра [pic 14].

2. Застосовуємо до [pic 15] білінійне перетворення і отримаємо Z передатну функцію цифрового фільтра

[pic 16].        (4)

При перетворенні (4) будуть зберігатися частотні характеристики й властивості стійкості аналогового фільтра. Однак це не означає, що частотні характеристики аналогового й цифрового фільтрів однакові, однакова тільки їхня форма. Наприклад, якщо амплітудно-частотна характеристика аналогового фільтра спадає монотонно при зміні частоти від 0 до нескінченності, амплітудно-частотна характеристика цифрового фільтра буде монотонно спадати при зміні цифрової частоти [pic 17] від 0 до [pic 18]; якщо амплітудно-частотна характеристика аналогового фільтра має [pic 19] підйомів і спадів у частотному діапазоні від 0 до нескінченності, то і амплітудно-частотна характеристика відповідного цифрового фільтра буде мати [pic 20]підйомів і спадів у діапазоні цифрової частоти від 0 до [pic 21]. До того ж , зв'язок між [pic 22] і [pic 23] нелінійний