Геометричні перетворення простору з точки зору аксіоматики Вейля

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ПОЛТАВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Г. КОРОЛЕНКА

Реферат

на тему:

 «Геометричні перетворення простору з точки зору аксіоматики Вейля»

                                                                            Виконав:

студент групи М-34

   Загнійко Сергій Іванович

м. Полтава

2023 р.

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1: Основні поняття та визначення аксіоматики Вейля…………………4

1.1 Аксіоматика Вейля: основні принципи та аксіоми…………………………5

1.2 Елементи простору в аксіоматиці Вейля: точки, прямі, площини………...6

1.3 Відстань та вимір у просторі Вейля………………………………………….7

Розділ 2: Геометричні перетворення у просторі Вейля……………………….10

2.1 Зсуви: трансляції та вектори………………………………………………...11

2.2 Повороти: обертання навколо вісі………………………………………….15

2.3 Відображення: симетрії та дзеркальність…………………………………..18

2.4 Розтягування та стискання: збільшення та зменшення масштабу………..22

Висновок………………………………………………………………………….28

Вступ:

Геометрія є однією з найстаріших наук, що вивчає просторові відношення та структури. Вона дозволяє нам розуміти та аналізувати форми, розміри, відстані, кути та інші характеристики об'єктів у просторі. В рамках геометрії існують різні підходи та системи аксіом, які надають основу для дослідження та розуміння простору.

Однією з аксіоматичних систем у геометрії є аксіоматика Вейля, запропонована німецьким математиком Германом Вейлем у 1922 році. Ця система аксіом використовується для розуміння та дослідження геометричних перетворень у тривимірному просторі.

Мета даної курсової роботи полягає у розгляді геометричних перетворень з погляду аксіоматики Вейля. Основна увага буде приділена розумінню та вивченню основних понять та визначень, що випливають з аксіоматики Вейля. Вивчення цих понять допоможе нам зрозуміти, як геометричні об'єкти та їх властивості змінюються під впливом різних типів геометричних перетворень.

В рамках дослідження будуть розглянуті основні геометричні перетворення, такі як трансляція, поворот, відображення та розтягнення. Для кожного типу перетворень будуть досліджені їх властивості та характеристики. Наприклад, буде досліджено, як змінюються відстані між точками, кути між прямими та площі фігур при застосуванні різних геометричних перетворень.

Також будуть розглянуті властивості композиції геометричних перетворень, коли два або більше перетворень застосовуються послідовно. Це дозволить нам краще розуміти, як змінюється геометрична конфігурація при комбінації різних перетворень.

Загалом, цей реферат надасть можливість поглибити свої знання про геометрію та геометричні перетворення, зосереджуючись на аксіоматиці Вейля. Розуміння цих понять та їх властивостей допоможе  розвинути абстрактне мислення, логічне мислення та аналітичні навички, які є важливими в математиці та інших наукових дисциплінах.

Розділ 1: Основні поняття та визначення аксіоматики Вейля

Основні поняття та визначення аксіоматики Вейля в геометрії можна розглядати наступним чином:

1. Геометрія: Геометрія - це наука, що вивчає властивості простору, фігур і відношень між ними. У геометрії використовуються аксіоми та визначення для формалізації цих властивостей.

2. Аксіоматика Вейля: Аксіоматика Вейля (або аксіоматика Хілберта-Вейля) є одним з підходів до формалізації геометрії. Її розвинули у 20 столітті Г. Д. Биркгоф та О. Г. Харди.