Чудові точки трикутника

План

Вступ…………………………………………………………………………..3

1. Трикутник, його елементи……………………………………………………5

1. Медіани трикутника. Центроїд……………………………………..5
2. Висоти трикутника. Ортоцентр…………………………………….8
3. Бісектриси трикутника. Інцентр…………………………………..10

1. Бісектральні трикутники…………………………………………………….13
2. Ортоцентричні трикутники…………………………………………………15
3. Особливі точки трикутника ………………………………………………...19

1. Точки Ейлера……………………………………………….............19
2. Точки Брокара………………………………………………………20
3. Точка Лемуана……………………………………………………...22

  Структура зв’язків основних елементів точок трикутника………………..24

Висновки……………………………………………………………………...25

Список використаних джерел……………………………………………….26

ВСТУП

        Актуальність дослідження. Властивості трикутника були предметом вивчення ще стародавніх греків. У четвертій книзі  «Начал» Евклід розв’язує  задачу: «Вписати круг у даний трикутник». З розв’язку  випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. З розв’язку іншої задачі Евкліда випливає, що перпендикуляри, проведені до сторін трикутника в їх серединах, теж перетинаються в одній точці – центрі описаного кола. В «Началах» не йдеться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (грецьке слово «ортос» означає «прямий», «правильний»). Ця властивість була відома Архімеду, Паппу, Проклу. Архімед довів, що точка перетину медіан є центром тяжіння (барицентром) трикутника.

        На вищеназвані чотири точки була звернута особлива увага, і, починаючи з XVIII століття, вони були названі «чудовими» або «особливими» точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних з цими і іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики – «геометрії трикутника» або «нової геометрії трикутника», одним з родоначальників якої став Леонард Ейлер.

        В 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, барицентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше «прямою Ейлера».

В двадцятих роках XIX століття французькі математики Ж. Понселе,   Ш. Бріаншон та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, які сполучають ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному і тому ж колі. Це коло називається «колом дев'яти точок», або «колом Фейєрбаха», або «колом Ейлера». К. Фейербах встановив, що центр цього кола лежить на прямій Ейлера.

        Великий внесок в розвиток геометрії трикутника внесли математики XIX – XX століть Лемуан, Брокар, Тебо і інші. Проте не всі «таємниці» трикутника розкрито. Трикутник як геометрична фігура продовжує цікавити математиків. Розглядаються окремі види трикутників, досліджуються їх властивості і т.д.

Об’єктом дослідження є трикутник як геометрична фігура та його властивості.

Предметом дослідження є окремі елементи трикутника, його особливі точки, деякі види трикутників.

Метою дослідження є виділення особливих точок трикутника, дослідження їх властивостей та встановлення особливостей окремих видів трикутників.

Завдання дослідження:

1. Виділення окремих елементів трикутника (медіани, бісектриси, висоти) та дослідження їх властивостей.
2. Розгляд властивостей точок перетину медіан, бісектрис, висот (центроїд, інцентр, ортоцентр).
3. Виокремлення та дослідження деяких видів трикутників (бісектральних, ортоцентричних).
4. Виділення особливих точок трикутника (Ейлера, Брокара, Лемуана), встановлення їх властивостей.

Теоретичне значення роботи полягає у систематизації матеріалу з обраної теми, його узагальненню та ілюстрації основних теоретичних положень у процесі розв’язування геометричних задач.