Спектральный метод расчета на сейсмические воздействия

ЛЕКЦИЯ 4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (НОРМАТИВНЫЙ) МЕТОД РАСЧЕТА НА СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ.

4.1. Колебания линейного осциллятора.

Линейным осциллятором называют простейшую одномассовую систему при условии, что невесомый стержень, поддерживающий массу является линейно упругим (Рис. 4.1 а).

                            Рис. 4.1[pic 1]

Изучение колебаний линейного осциллятора является основой как динамики, так и сейсмики, поскольку позволяет выявить основные закономерности этого процесса с последующим обобщением на более сложные случаи.

Перемещение массы m складывается из переносного перемещения основания при землетрясении и относительного перемещения [pic 2], вызванного изгибом стержня:

[pic 3]                                        (4.1)

Тогда сейсмическая сила (сила инерции) будет:

[pic 4]                (4.2)        

Уравнение движения массы m c учетом сил сопротивления:

[pic 5]                                (4.3)        

или

[pic 6]

Окончательно:

[pic 7]                        (4.4)

При [pic 8] приходим формально к уравнению свободных колебаний с учетом демпфирования:

[pic 9]                                

или

[pic 10]                                (4.5)

Решение уравнения (4.4) с учетом начальных условий (при [pic 11], [pic 12], [pic 13]) известно из курса динамики:

[pic 14],                                (4.6)

[pic 15] - амплитуда колебаний;

[pic 16] - частота собственных колебаний с учетом демпфирования;

[pic 17] - частота собственных колебаний без учета демпфирования;

[pic 18] - начальный угол сдвига фазы колебаний.

График колебаний линейного осциллятора показан на рис. 4.2.

Вернемся к анализу уравнения (4.4). Правую часть можно трактовать как вынуждающую силу (рис. 4.3 а):

[pic 19]                                        (4.7)

[pic 20]

        Рис. 4.2

Вынуждающую силу [pic 21] можно представить в виде суммы элементарных импульсов (Рис. 4.3 б).

[pic 22]

        Рис. 4.3

Каждый элементарный импульс вызывает свободные колебания типа (4.5), которые можно записать как

[pic 23]                (4.8)

Проинтегрировав левую и правую части уравнения (4.7), получим:

[pic 24]

или с учетом (4.6):

[pic 25]        (4.9)

В литературе решение (4.9) носит название интеграла Дюамеля.

Строго говоря, к решению (4.9) следует добавить свободные колебания (4.6), но свободные колебания, возникающие в первый момент землетрясения быстро затухают.

4.2. Спектральный метод расчета линейного осциллятора.

В основе спектральной теории расчета лежат понятия спектра ускорений (также скоростей и перемещений). Этот метод лежит в основе СНиП 2-07-81*.

Из (4.4) следует, что

[pic 26]                (4.10)

Величина [pic 27] мала и влиянием диссипации в первом приближении можно пренебречь: