СМО с отказами

Содержание

1. Введение
2. Одноканальные СМО с отказами
3. Многоканальные СМО с отказами
4. Заключение

Введение

Системы массового обслуживания (СМО) играют ключевую роль в моделировании и анализе различных процессов обслуживания, оказывая значительное влияние на эффективность и качество обслуживания во многих сферах человеческой деятельности. Однако в реальных условиях функционирования системы массового обслуживания могут сталкиваться с различными видами отказов, что приводит к изменению их характеристик и требует особого внимания при анализе.

Термин "СМО с отказами" описывает системы, в которых возникают ситуации, когда поступающие заявки не могут быть обработаны или обслужены из-за различных причин, таких как перегрузка, недоступность ресурсов, или ограничения времени. Изучение таких систем позволяет более полно понимать их поведение в условиях перегрузок, предугадывать возможные отказы и принимать меры для оптимизации процессов обслуживания.

Одноканальная СМО с отказами

Одноканальная система массового обслуживания с отказами – это модель, описывающая ситуацию, когда поступающие заявки обрабатываются одним обслуживающим аппаратом (одним каналом) и в случае отсутствия свободного места в очереди на обслуживание, заявка может быть отклонена или отвергнута (произошел отказ).

Показатели эффективности:

А — абсолютная пропускная способность СМО, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q — относительная пропускная способность СМО, т. е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Ротк — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной.

Система состоит из одного канала обслуживания. Очередь не допускается. Заявка, пришедшая в тот момент, когда канал занят обслуживанием, уходит из системы необслуженной. Поток заявок и поток обслуживаний — простейшие.

Система может находиться только в двух состояниях: S0 — канал свободен и S1 — канал занят. Размеченный граф системы имеет следующий вид (рис. 1).

Обозначим, что λ — интенсивность потока заявок, т.е. среднее число поступающих заявок в единицу времени; μ — интенсивность потока обслуживаний.

[pic 1]

Рис. 1

Среднее время ожидания очередной заявки, т.е. среднее значение интервала времени между поступлением двух соседних заявок (по‑ другому, средний промежуток времени, в течение которого поступает ровно одна заявка), равно

[pic 2]

время ожидания поступления очередной заявки.

Поток обслуживаний — это поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. События этого потока — покидание обслуженной заявкой канала СМО. Момент такого покидания — это момент появления данного события. Поскольку продолжительность обслуживания разных заявок считается случайной величиной, то поток обслуживаний является случайным потоком. Будем считать, что это простейший поток. Обозначим через μ интенсивность потока обслуживаний, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени одним непрерывно работающим каналом. Рассматривается способность канала обслужить μ заявок в единицу времени, работая без простоя, т. е. когда заявки поступают без перерыва одна за другой.

[pic 3]

затрачиваемое на обслуживание одной заявки. Например, пусть интенсивность потока обслуживаний μ = 0,5 заявки в мин, тогда среднее время обслуживания одной заявки составляет

[pic 4]

Это среднее время ожидания очередной заявки возможности поступить на обслуживание. Итак, интенсивность потока событий и среднее время ожидания очередного события — взаимно обратные величины. Интенсивность потока заявок и среднее время ожидания очередной за- явки — взаимно обратные величины, интенсивность потока обслуживаний и среднее время обслуживания одной заявки тоже взаимно обратные величины.