Максимальное смещение летательного аппарата в заданном направлении
Автор: akler5676 • Апрель 12, 2022 • Контрольная работа • 947 Слов (4 Страниц) • 283 Просмотры
Цель работы – изучение метода последовательных приближений и особенностей его реализации на ЭВМ при решении задачи о максимальном смещении ЛА в заданном направлении.
1 Теоретическая часть
Движение управляемого летательного аппарата с выключенным двигателем определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
(1)
где , V - скорость, - угол наклона траектории, у - высота, х - дальность, - масса, - плотность воздуха, - безразмерные аэродинамические коэффициенты, - угол атаки.
Управлением является угол атаки, который удовлетворяет ограничению
. (2)
Задано начальное положение ЛА:
при (3)
В плоскости ОXY введем единичный вектор: направление которого определяется углом между вектором и осью ох. Смещение ЛА в направлении вектора в момент будем характеризовать скалярным произведением вектора l и вектора , т.е. функционалом следующего вида:
(4)
Требуется найти оптимальное управление, обеспечивающее максимум функционалу (4) в заданный момент при ограничениях (2) и начальных условиях (3).
Решим поставленную задачу с применением метода последовательных приближений. Для использования традиционной формы принципа максимума вместо максимума критерия (4) будем искать минимум следующего функционала:
(5)
что, очевидно, равнозначно.
Функция Гамильтона для системы (1) с терминальным критерием имеет вид:
(6)
Составим сопряженную систему уравнений:
(7)
Рассмотрим условия трансверсальности для фиксированного момента времени :
(8)
где
Условие (8) в развернутом виде имеет вид:
Так как при фазовые координаты V, у и х могут принимать любые значения, то, в силу независимости вариаций получаем следующие граничные условия для фазовых координат сопряженной системы:
(9)
Таким образом, задача оптимального управления сводится к краевой задаче - найти решение системы уравнений (1) и (7), фазовые координаты которых удовлетворяют начальным условиям (3) и граничным условиям (9). Кроме того, согласно принципу максимума, функция Гамильтона (6) при оптимальном управлении должна достигать максимума. Причем управление должно удовлетворять ограничению (2).
И.А. Крылов и Ф.Л. Черноусько разработали метод последовательных приближений для решения поставленной задачи оптимального управления. Его алгоритм состоит в следующем.
1) Задается допустимая функция управления
2) Решается система дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (3) и выбранным управлением от до момента времени . Полученное решение обозначается через . Запоминается
3) Совместно в обратном направлении времени от до решается система уравнений (1) с граничными условиями
...