Максимальное смещение летательного аппарата в заданном направлении

Цель работы – изучение метода последовательных приближений и особенностей его реализации на ЭВМ при решении задачи о максимальном смещении ЛА в заданном направлении.

1 Теоретическая часть

Движение управляемого летательного аппарата с выключенным двигателем определяется следующей системой дифференциальных уравнений:

(1)

где , V - скорость, - угол наклона траектории, у - высота, х - дальность, - масса, - плотность воздуха, - безразмерные аэродинамические коэффициенты, - угол атаки.

Управлением является угол атаки, который удовлетворяет ограничению

. (2)

Задано начальное положение ЛА:

при (3)

В плоскости ОXY введем единичный вектор: направление которого определяется углом между вектором и осью ох. Смещение ЛА в направлении вектора в момент будем характеризовать скалярным произведением вектора l и вектора , т.е. функционалом следующего вида:

(4)

Требуется найти оптимальное управление, обеспечивающее максимум функционалу (4) в заданный момент при ограничениях (2) и начальных условиях (3).

Решим поставленную задачу с применением метода последовательных приближений. Для использования традиционной формы принципа максимума вместо максимума критерия (4) будем искать минимум следующего функционала:

(5)

что, очевидно, равнозначно.

Функция Гамильтона для системы (1) с терминальным критерием имеет вид:

(6)

Составим сопряженную систему уравнений:

(7)

Рассмотрим условия трансверсальности для фиксированного момента времени :

(8)

где

Условие (8) в развернутом виде имеет вид:

Так как при фазовые координаты V, у и х могут принимать любые значения, то, в силу независимости вариаций получаем следующие граничные условия для фазовых координат сопряженной системы:

(9)

Таким образом, задача оптимального управления сводится к краевой задаче - найти решение системы уравнений (1) и (7), фазовые координаты которых удовлетворяют начальным условиям (3) и граничным условиям (9). Кроме того, согласно принципу максимума, функция Гамильтона (6) при оптимальном управлении должна достигать максимума. Причем управление должно удовлетворять ограничению (2).

И.А. Крылов и Ф.Л. Черноусько разработали метод последовательных приближений для решения поставленной задачи оптимального управления. Его алгоритм состоит в следующем.

1) Задается допустимая функция управления

2) Решается система дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (3) и выбранным управлением от до момента времени . Полученное решение обозначается через . Запоминается

3) Совместно в обратном направлении времени от до решается система уравнений (1) с граничными условиями