Портфельный анализ. Модель Марковица

Занятие 2. Портфельный анализ. Модель Марковица.

В 1990 г. Американский ученый Гари Марковиц стал лауреатом Нобелевской премии по экономике за труды по портфельному анализу.

С каждым портфелем рискованных активов связаны две величины доходность и риск . Инвестор хотел бы иметь такой портфель, который обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность при минимальном риске.

Развивая теорию портфельного анализа Марковиц предложил фиксировать ожидаемую доходность и минимизировать риск портфеля.

Постановка задачи

Итак, мы рассматриваем следующую задачу: требуется найти портфель X=(x1, x2, ….xn)Т , который минимизирует риск и обеспечивает заданную величину ожидаемой доходности .

В математической постановке задача выглядит следующим образом:

(1)

При условиях: (2-3)

Первое условие обеспечивает данный уровень доходности, а второе следует из определения вектора Х.

Замечание. В некоторых случаях мы будем дополнительно предполагать, что вектор Х состоит из неотрицательных чисел. Тогда компоненты вектора Х можно интерпретировать, как доли инвестиций вложенных в соответствующий актив. В общем случае среди чисел x1, x2, ….xn могут встречаться и отрицательные. Это как обычно означает долговое обязательство.

Решение задачи

Основные предположения

1) Ковариационная матрица V положительно определена*, т.е. невырождена;

*Симметричную матрицу A будем называть положительно определённой, если квадратичная форма xTAx этой матрицей