Метод сопряжённых градиентов

ВВЕДЕНИЕ

Термин «Оптимум» рассматривался ещё в XVII в. Готфридом В. Лейбницем. В своей теории о мире Лейбниц излагал как об «Оптимуме» - в переводе с латинского, как наилучший их возможных миров. Но, к сожалению, в работах Лейбница не было такого понятия как «допустимость». Но уже тогда было исторически доказано, что понятие оптимизация имеет отношения к математическим наукам. Так как математика наука точная, то и на изучение вычислительных задач затрачено довольно много времени.

Для это была создана оптимизация в математике. Раздел математики «Оптимизация» существует очень давно. Это нахождение max и min функции, выполняя некоторые ограничения. Так же оптимизация существует и как раздел информатики - видоизменение системы для улучшения её работы и эффективности. Оптимизация - это выбор, т.е. это то, чем мы постоянно занимаемся в повседневной жизни. «Оптимизация" на языке литературы - ход или последовательность действий, дающая возможность получить верное решение. Её целью является поиск одного правильного результата, но во многих случаях приходится довольствовать тем, что имеем, а не улучшением данных. Мы ежедневно сталкивается с такой проблемой как получить какой то эффект от деятельности и затратить на это меньше всего ресурсов. Под оптимизацией понимают скорее интерес к совершенству, который может быть и не достигнут.

Алгоритм формулировки задачи:

1. выполнение технологических требований — (выход продукта, содержание примесей в нем и др.);

2. варьирующие параметры (например, температура, давление) изменения которых, позволяют влиять на результат;

3. математическая модель процесса;

4. ограничения, связанные не только с экономическими процессами, но и с технологическими, зависящие от аппаратуры.

Отсюда получаем вывод, что бы решить задачу оптимальности» нужно найти самый благоприятный и выгодный на ваш взгляд вариант. Подбирая варианты мы так же сталкиваемся с процессами оптимизации. Ежедневно мы сталкиваемся с такими задачами, и они иногда легко решаемые, а бывают, что нужно подумать и составить какую либо модель, например: «модель-алгоритм-программа».

Методы оптимизации делятся на прямые и итерационные. Первые (прямые) методы задействуются прямо с уменьшившей функцией и представляют собой изменение с получением новых свойств безусловной минимизации, они позволяют произвести спуск к искомой точке min, не дают уйти за пределы возможной области, определяемой соотношениями. Смысл метода открывается в отыскивании по приближённому значению величины вытекающего приближения.

Образцом метода оптимизации используется итерационный метод Ньютона, решением задач, которых является шанс определить 0 первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Различают:

1. задачи безусловной оптимизации;

2. задачи условной оптимизации;

3. задачи математического программирования;

4.задачи выпуклого программирования;

5. численные методы оптимизации.

В этой контрольной работе мы более подробно остановимся на решении задач безусловной оптимизации с использованием методов сопряженных градиентов.

Безусловная оптимизация

Вопрос безусловной оптимизации заключается в нахождении min или max функции в дефиците каких-либо ограничений. Эти задачи оптимизации встречаются в инженерной практике, их используют при реализации сложных итерактивных процедур оптимизации. Существует много алгоритмов, которые относительно можно собрать таким образом.

* методы исключения интервалов;

* метод половинного деления;

* метод "золотого" сечения;

* метод Фибоначчи;