Постулаты квантовой механики

Постулаты квантовой механики

Теперь мы обратимся к применению предыдущего материала и перейдем к

основам квантовой механики. Постулаты, которые мы используем в качестве основы для

квантовой механики, ни в коем случае не являются самыми тонкими из когда-либо разработанных,

но они достаточно сильны для того, что мы должны сделать.

1.9 Состояния и волновые функции

Первый постулат касается информации, которую мы можем знать о состоянии:

Постулат 1. Состояние системы полностью описывается функцией

(r1,r2, ... , t).В этом утверждении r1, r2, ... являются пространственными координатами частиц 1, 2, ...  которые составляют систему, а t - это время. Функция Ψ (прописные буквы psi)

играет центральную роль в квантовой механике и называется волновой функцией

системы (более конкретно, зависящей от времени волновой функцией). Когда нас

не интересует, как система меняется во времени, мы будем обозначать

волновая функция с помощью строчной буквы psi как Ψ (r1, r2, ... ) и ссылаться на нее как на независимую от времени волновую функцию. Состояние системы также может зависеть от некоторой внутренней переменной частиц (их спиновых состояний); мы пока игнорируем это

и вернемся к нему позже. Под ‘описанием’ мы подразумеваем, что волновая

функция содержит информацию обо всех свойствах системы, которые открыты для

экспериментального определения.

Мы увидим, что волновая функция системы будет задаваться набором

меток, называемых квантовыми числами, и затем может быть записана ψ, b, ..., где

a, b, ... - квантовые числа. Значения этих квантовых чисел определяют волновую функцию и, таким образом, позволяют вычислять значения различных физических наблюдаемых. Часто удобно ссылаться на состояние системы, не ссылаясь на соответствующую волновую функцию; состояние задается путем перечисления значений квантовых чисел, которые его определяют.

1.10 Фундаментальное предписание

Следующий постулат касается выбора операторов:

Постулат 2. Наблюдаемые представлены эрмитовыми операторами, выбранными для

удовлетворения коммутационных соотношений

[pic 1]

 где q и q’ обозначают каждую из координат x, y, z, а pq и pq’ - соответствующие линейные импульсы.

Требование, чтобы операторы были эрмитовыми, гарантирует, что наблюдаемые

имеют реальные значения (см. Ниже). Каждое коммутационное отношение является базовым, недоказуемым и недооцениваемым постулатом. Постулат 2 лежит в основе выбора

форма операторов в представлениях положения и импульса для

всех наблюдаемых, которые зависят от положения и импульса.2 Таким образом, если мы

определяем представление положения как представление, в котором оператор положения

является умножением на координату положения, то, как мы видели из примера 1.3 следует, что оператор импульса должен включать дифференцирование по x, как указано ранее. Аналогично, если представление импульса определено как представление, в котором линейный импульс

представляется умножением, тогда форма оператора положения

фиксируется как производная по линейному импульсу. Координаты

x, y и z коммутируют друг с другом, как и линейные импульсы px, py и pz.

1.11 Результаты измерений

Следующий постулат объединяет волновую функцию и операторы и

устанавливает связь между формальными расчетами и экспериментальными наблюдениями:

Постулат 3. Когда система описывается волновой функцией ψ, среднее

значение наблюдаемого Ω в серии измерений равно математическому ожиданию соответствующего оператора.

Математическое ожидание оператора Ω для произвольного состояния ψ обозначается <Ω>