Практическая работа по "Физике"

Касимов Дмитрий

Задача 1:

С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v? Масса змеи m, её длина l.

Решение

Пусть за некоторое время dt голова змеи поднялась на высоту dx над землей (см. рис.). В

𝑚 ∗𝑑𝑥 вертикальном положении при этом находится передняя часть змеи массой 𝑑𝑚 = [pic 1] 

𝑙

Со стороны земли на змею действует сила нормальной реакции 𝐹⃗ и сила тяжести ⃗𝑚𝑔⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

[pic 2] 

𝑑𝑝

[pic 3] = 𝑁 − 𝑚𝑔, где 𝑑𝑝 = 𝑑𝑚 ∗ 𝑣 – изменение импульса за время dt.

𝑑𝑡

После преобразований получим: N=mg+𝑚𝑣 ∗ 𝑑𝑥.  [pic 4]

        𝑙        𝑑𝑡

Тогда согласно третьему закону Ньютона искомая сила давления змеи на землю F равна по модулю силе нормальной реакции N. Наконец, заметим, что 𝑑𝑥[pic 5]=𝑣.  

𝑑𝑡

𝑣2

Тогда F=𝑚(𝑔 +        ).

𝑙

Подстановка числовых значений даёт F = 60 Н.

Ответ: F = 60 Н.

Задача 2:

Масса ракеты перед стартом равна 250 кг. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со кг        м скоростью 4        , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 . Поле тяготения с        с

Земли можно считать однородным.

Решение

[pic 6] 

Начнем с записи уравнения Мещерского в проекции на вертикальную ось. Оно будет иметь следующий вид:

∆𝑣0

𝑚 [pic 7] = 𝜇𝑣отн − 𝑚𝑔 

∆𝑡

Здесь 𝑚 = 𝑚0 − 𝜇𝑡, 𝑣0 − скорость ракеты в заданный момент времени, 𝜇 = 𝑑𝑚[pic 8]𝑚 .

Разделим переменные:

𝜇𝑣отн

∆𝑣0 = ([pic 9] − 𝑔) ∆𝑡 

𝑚0 − 𝜇𝑡

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

𝑚0

𝑣0 = 𝑣отн𝑙𝑛 [pic 10] − 𝑔𝑡 

𝑚0 − 𝜇𝑡

Проинтегрируем полученное уравнение с учетом того, что 𝐻0 = 0 при 𝑡 = 0:

        𝑔𝑡2        𝑣отн𝑚0        𝜇𝑡        𝜇𝑡

        𝐻 = 𝑣отн𝑡 −        +        (1 −        ) 𝑙𝑛 (1 − [pic 11]) [pic 12]

        2        𝜇        𝑚0        𝑚0

Подставим заданные значения и найдем ответ:

        𝑔𝑡2        𝑣отн𝑚0        𝜇𝑡        𝜇𝑡

        𝐻 = 𝑣отн𝑡 −        +        (1 −        ) 𝑙𝑛 (1 − [pic 13]) = 3177,5 м [pic 14]

        2        𝜇        𝑚0        𝑚0

Задача 3:

Пусть при каждом выбрасывании порция вещества ∆𝑚 получает одну и ту же скорость 𝑣отн  относительно ракеты, направленную назад. Определить скорость ракеты 𝑉𝑁, которую она достигнет после N выбрасываний, если начальная масса ракеты равна 𝑚0. Показать, что в предельном случае, когда ∆𝑚 → 0, 𝑁 → 0, а произведение ∆𝑚𝑁 остается постоянным, выражение для 𝑉𝑁 переходит в формулу Циолковского. Ограничиться нерелятивистскими скоростями, т.е скоростями, много меньше скорости света.