Механикадағы сақталу заңдары

Лекция №2.

Механикадағы сақталу заңдары.

1. Дене импульсінің сақталу заңы.

Массасы m денеге, қандай да бір өте аз Δt уақыт бойы [pic 1] күш әсер етеді. Осы күштің әсерінен дененің жылдамдығы [pic 2] мынадай шамаға өзгереді. Сонда дене Δt уақыт бойы мынадай үдеумен қозғалады:

[pic 3]

Динамиканың негізгі заңы (Ньютонның екінші заңы) бойынша:

[pic 4]

[pic 5]

Дененің массасы мен жылдамдығының көбейтіндісін импульс немесе қозғалыс мөлшері деп атайтынын білетінбіз. Дененің импульсі – векторлық шама. Өлшем бірлігі – (кг·м/с). Күштің оның әсер етуші уақытына көбейтіндісі – күш импульсі деп аталады, ол да векторлық шама.

Ньютонның екінші заңы бойынша, дененің импульсінің өзгерісі күш импульсіне тең.

[pic 6]

Осы векторлық теңдікті координат осьтеріне проекциясы ретінде де жазуға болады.

FxΔt = Δpx;  FyΔt = Δpy;  FzΔt = Δpz.

Мысал ретінде, бір өлшемді қозғалысты қарастырайық, яғни ОУ осімен қозғалған қозғалысты. Дене υ0 бастапқы жылдамдықпен ауырлық күшінің әсерінен еркін түсіп барады деп есептейік, құлау уақыты t.  ОУ осін төмен қарай бағыттаймыз. Ауырлық күшінің Fт = mg t уақыттағы импульсі mgt. Бұл импульс дене импульсінің өзгерісіне тең.

Fтt = mgt = Δp = m(υ – υ0), мұндағы    υ = υ0 + gt.

Бұл теңдеу үдемелі қозғалыс кезіндегі жылдамдықтың кинематикалық формуласымен сәйкес келеді. Осы мысалдан, уақыттың барлық интервалы үшін, күш модулі жағынан өзгермейтіні шығады. Егер күш шамасы жағынан өзгеретін болса, онда күш импульсінің өрнегіне Fср күштің орташа мәнін қою керек.

Уақытқа тәуелді күш импульсін анықтау суреті:

[pic 7]

Сурет 3.1

F(t) тәуелділігі арқылы күш импульсін анықтау.

Уақыттың осінен F(t) күші өзгермейтін өте аз Δt уақыт интервалын бөліп аламыз. F(t)Δt Δt уақытта күш импульсі штрихталған ауданға тең.  Егер уақыттың барлық осін 0-ден t-ға дейін аз бөліктерге бөлетін болсақ, сосын барлық интервалдағы күш импульстарын қосатын болсақ, қорытқы импульс сатылы қисықтың ауданына тең болады. Суретте көрсетілген, күш импульсі t1 = 0 –ден t2 = 10 – ға дейінгі аралықта мынаған тең:

[pic 8]

Штрихталған ауданда [pic 9].

Денелердің әсерлесуі кезінде бір дененің импульсі екіншісіне толығымен немесе жартылай беріледі.  Егер денелер жүйесіне басқа денелерден сыртқы күштер әсер етпесе, онда жүйені тұйық деп атайды. Тұйық жүйеде барлық денелердің импульстерінің қосындысы, осы жүйедегі денелердің кез келген әсерлесулері кезінде тұрақты болады. Табиғаттың бұл негізгі заңы импульстің сақталу заңы деп аталады және Ньютонның екінші, үшінші заңдарының салдары болып табылады. Бұл заң импульстің сақталу заңы деп аталады.

        Мысалы, тұйық жүйеге кіретін екі әсерлесуші денелерді қарастырайық. Олардың әсерлесу күштері Ньютонның үшінші заңы бойынша, [pic 10]. Егер қандай да бір t уақытта әсерлесетін болса, онда күш импульстері модулдері жағынан тең, бағыттары жағынан қарама–қарсы.  [pic 11]. Осы денелерге Ньютонның екінші заңын қолдансақ,

[pic 12]

мұндағы, [pic 13] және [pic 14] бастапқы уақыттағы денелердің импульстары, [pic 15] және [pic 16] әсерлесу соңындағы денелердің импульстары. Осы өрнектерден мына теңдіктер шығады:

[pic 17]

Бұл теңдіктің мағынасы, әсерлескен екі дененің импульстарының қосындысы өзгермейді. Суретте 4.2 массалары әртүрлі шарлардың соқтығыстары көрсетілген, бір шар соқтығысқа дейін тыныштықта тұр.

[pic 18]

Сурет 3.2.

Массалары әртүрлі шарлардың центрлік емес соқтығыстары: 1 – соқтығысқа дейінгі импульстар, 2 – соқтығыстан кейінгі соқтығыстан, 3 – импульстардың диаграммасы.

Импульстің сақталу заңына мысал ретінде, реактивті қозғалысты қарастыруға болады. Мысалы, қарудан оқ атылғанда, оқ алдыға, ал қару артқа қарай серпіледі. Оқ пен қару – екі әсерлесуші денелер. Серпілген кезде қарудың алған жылдамдығы, оқтың жыламдығына және массаларының қатынасына тәуелді. Егер жылдамдықтарын [pic 19] және [pic 20], массаларын М және m деп белгілесек, импульстың сақталу заңы бойынша былай жазуға болады: