Анализ активного RC-фильтра

АНАЛИЗ АКТИВНОГО RC-ФИЛЬТРА

1. Схема ARC-цепи и её параметры

Рассмотрим схему ARC-цепи, изображённую на рис. 1.

Пронумеруем узлы.

Параметры ARC-цепи: 𝑅 = 6 кОм; 𝐶1 = 75 нФ; С2= 3,7 нФ;  [pic 1]

[pic 2]

Рис. 1

2. Операторная схема замещения цепи и её операторная передаточная функция типа H(p)=U2(p)/U1(p). Резонансная частота, добротность и коэффициент затухания колебательного контура. Частота и период свободных колебаний. Полюсы операторной передаточной функции. Устойчивость цепи

Составим операторную схему замещения цепи (рис. 2), заменив инверсный операционный усилитель источником напряжения управляемым напряжением.

[pic 3]

Рис. 2

Из операторной схемы замещения цепи видно, что напряжение узла 1 равно заданному операторному воздействию U1(p), а напряжение узла 2 равно заданной операторной реакции U2(p) = -µ∙U4(p). Напряжение U4(p) = [pic 4]

Операторные уравнения для узлов 3 и 4, составленные по методу узловых напряжений, имеют вид:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Подставим значения проводимостей в уравнения для узлов 3 и 4:

[pic 8]

[pic 9]

Напряжение 𝑈3(𝑝) в уравнении для узла 3 заменим его значением:

[pic 10]

Уравнение приведём к виду 𝐵(𝑝) ∙ 𝑈2(𝑝) = 𝐴(𝑝) ∙ 𝑈1(𝑝):

[pic 11]

Разделим уравнение на 𝑈1(𝑝). После преобразования получим операторную передаточную функцию типа 𝐻(𝑝)=𝑈2(𝑝)/𝑈1(𝑝):

[pic 12]

Операторную передаточную функцию можно представить в общем виде

[pic 13]

где коэффициенты   равны значениям[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Знаменатель операторной передаточной функции содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура:

[pic 18]

где  − резонансная частота колебательного контура; [pic 19]

Q − добротность колебательного контура; 2π =6,283185.

Резонансная частота колебательного контура:

[pic 20]

Добротность колебательного контура:

[pic 21]

Коэффициент затухания колебательного контура:

[pic 22]

Частота свободных колебаний:

[pic 23]

Период свободных колебаний:

[pic 24]

Полюсы операторной передаточной функции 𝐻(𝑝):

[pic 25]

[pic 26]

Отметим полученные полюсы 𝑝1 и 𝑝2 на комплексной плоскости:

[pic 27]

Рис. 3

Полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости. По критерию Гурвица данная цепь устойчива.

В операторной передаточной функции 𝐻(𝑝) коэффициенты:

 .[pic 28][pic 29]

Вывод: Цепь устойчива для заданных значениях параметров.

3. Комплексная передаточная функция 𝑯(𝒋𝝎) цепи, её АЧХ и ФЧХ. Графики АЧХ и ФЧХ. Тип фильтра. Максимальное значение АЧХ. Граничная частота полосы пропускания фильтра. Каскадное соединение звеньев 2 порядка ARC-фильтра

Находим КПФ 𝐻(𝑗ω) цепи, заменяя в 𝐻(𝑝) переменную 𝑝 = 𝑗ω:

[pic 30]

[pic 31]

Выражение для амплитудно-частотной характеристики примет вид:

[pic 32]

[pic 33]

Выражение для фазочастотной характеристики примет вид: