Задачи по "Статистике"

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Задание №1

На книжной полке случайным образом расставлены 10 томов одного справочного издания. Найти вероятность того, что все четные тома окажутся стоящими рядом в одной группе, а все нечетные – рядом в другой группе.

Решение

2 варианта благоприятных случаев:

1) Четные тома занимают первые 5 мест, нечетные - следующие 5 мест.

2) Наоборот.

При подсчете числа способов для каждого из этих вариантов учитываем, что четные и нечетные в этих группах можно расставлять в разном порядке.

Общее кол-во перестановок томов: 10!

Общее кол-во перестановок 5 томов: 5!

Вероятность того, что все чётные тома окажутся на первых местах: [pic 5]

Аналогично для нечётных томов: [pic 6]

 – вероятность чётных книг состоять в 1-ой группе.[pic 7]

 – вероятность нечётных книг состоять во 2-ой группе.[pic 8]

 – вероятность всех возможных комбинаций расстановки книг.[pic 9]

Расчет: [pic 10]

Ответ: [pic 11]

Задание №2

Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Вероятность отказа каждого элемента с номером i ( i =1,2,…) в течение времени T равна p =  . Событие B означает отказ всей цепи за время T. Вычислить вероятность P(B).[pic 13][pic 12]

Решение

Цепь состоит из двух последовательно включенных блоков. Цепь работает, когда все два блока работают совместно. Так как элементы и блоки работают независимо, то можно применить теоремы сложения и умножения вероятностей для взаимно независимых событий:

При последовательном включении вероятности- перемножаются, а при параллельном- складываются

Вероятность работы:

;[pic 14]

;[pic 15]

=[pic 16]

) ) [pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Ответ: 0.453

Задание №3

Медицинский анализ выявляет имеющуюся у больного болезнь α с вероятностью  и ошибочно указывает на эту болезнь при ее отсутствии с вероятностью . У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом о болезни α, эта болезнь встречается с вероятностью p = 0,6. [pic 22][pic 23]

3.1. Вычислить вероятность P(A) того, что у больного анализ укажет на болезнь α.

3.2. По формуле Байеса вычислить вероятность того, что у больного действительно имеется болезнь α, если на нее указал медицинский анализ.

Решение

[pic 24][pic 25][pic 26]

События:[pic 27][pic 28]

- у больного анализ укажет на болезнь α ;[pic 29]

 - у больного, направленного на анализ, есть болезнь α ;[pic 30]

 - у больного, направленного на анализ, нет болезни α ;[pic 31]

 - у больного с болезнью, направленного на анализ, анализ указал на болезнь;[pic 32]

 - анализ указал на то, что больной болен, хотя больной не был болен;[pic 33]

 = p, [pic 34]

 = 1 – p,[pic 35]

 = ,[pic 36][pic 37]

 = .[pic 38][pic 39]

.[pic 40]

По формуле Бейса

[pic 41]

Ответ: 3.1 - 0.5, 3.2 – 0.96.

Задание №4

Наводнением в Санкт-Петербурге считается подъем воды в Неве до 160 см и выше над нулевой отметкой. За период в 292 года с 1703 по 1994 г. в 158 годах произошло хотя бы одно наводнение (событие A). Также зарегистрировано 16 лет, когда наблюдались летние наводнения – в июне, июле, августе (событие B). Исходя из этих данных примем P(A) = 158/292 = 0.54, P(B) = 16/292 = 0.055.