Марковские случайные процессы
Автор: Лили Глосс • Май 24, 2023 • Практическая работа • 861 Слов (4 Страниц) • 125 Просмотры
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 2
1. Постановка задачи 3
2. Описание алгоритма 4
3. Ручной расчёт 4
4. Результат работы программы 6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 7
СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ 8
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
ВВЕДЕНИЕ
Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и, соответственно, в рекомендательных системах.
Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть, с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для Марковских случайных процессов. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Все многообразие Марковских цепей подразделяется на эргодические и разложимые.
Марковские цепи используются в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе, состоящей из n приборов.
Используются в задачах, где необходимо прогнозирование. Например, прогноз погоды, оценка будущих продаж.
- Постановка задачи
В данной работе для рассмотрения Марковского процесса рассматривается некоторая система, имеющая n состояний.
В любой момент времени система может находиться в одном из состояний. Имеется граф переходов между состояниями, по которому в дальнейшем строится матрица переходов.
Состояние оборудования на заводе может в любой момент времени находиться либо в состоянии реализации задач работника, либо в состоянии профилактических работ, либо в состоянии ожидания команды. Определить коэффициент состояния реализации задач работника, если задана матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое
Продолжительность нахождения системы в каждом состоянии кратна длительности шага. Определить коэффициент использования оборудования, если задана матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое.
[pic 1]
S1 – состояние, в котором реализуются задачи работника
S2 – состояние, в котором реализуются профилактические работы
S3 – состояние ожидания команды
[pic 2]
Рисунок 1 – граф состояний
Требуется реализовать Марковскую модель по заданному графу состояний и узнать вероятность состояний в каждом из состояний.
- Описание алгоритма
- Переходные вероятности однородной Марковской цепи образуют квадратную матрицу порядка n;
- Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя;
- Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (𝑗-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние);
- Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий'
- Для системы строится матрица линейных алгебраических уравнений;
- Решая систему уравнений, получаем значения вероятностей состояний.
- Ручной расчёт
Для демонстрации корректности работы реализованного алгоритма был выполнен пошаговый расчёт.
Исходному графу (рисунок 1) соответствует следующая вероятность переходов:
[pic 3]
Для данной матрицы составим систему линейных алгебраических уравнений:
[pic 4]
На основании 4 уравнения:
[pic 5]
Уравниваем левые и правые части уравнений:
[pic 6]
Таким образом получаем:
[pic 7]
Решение системы уравнений:
[pic 8]
2,34[pic 9]
[pic 10]
0,64[pic 11]
[pic 12]
0,58[pic 13]
[pic 14]
0,78[pic 15]
В результате решения получаем значение вероятностей состояния в установленном режиме:
...