Элементарные асимптотические методы
Автор: Александра Лысцова • Июнь 2, 2024 • Курсовая работа • 2,163 Слов (9 Страниц) • 65 Просмотры
Федеральное государственное автономное образовательное Учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики» Факультет МИЭМ
Департамент прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» для направления 01.03.04
«Прикладная математика»
«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ» ВАРИАНТ № 104
Выполнил студентка группы БПМ 234 Лысцова Александра Дмитриевна
Руководитель курсовой работы
Прытков Роман Сергеевич
Москва 2024
Задача 1
f (x) = x 1/x , x 0 arctan x[pic 1]
Разложим arctan x в ряд Тейлора:
x3 x5 7
arctan x = x −[pic 2][pic 3]
+ + O(x )
3 5
Подставим это разложение в f (x) и обозначим u(x) = − x2 + x4 + O(x6):
[pic 4] [pic 5]
f (x) =
3 5
x 1/x[pic 6]
x − x3 + x5 + O(x7)[pic 7][pic 8]
= (1 + u(x))−1/x
Прологорифмируем (1 + u(x))−1/x:
(1 + u(x))−1/x = exp( 1
ln (1 + u(x)))
− x ∗[pic 9]
Возведем (1 + u(x))−1/x в ряд по формуле ln(1 + u) = u − u2 + O(u3), оставив только первые два члена[pic 10][pic 11]
разложения:[pic 12]
−1/x[pic 13][pic 14]
u(x)
u(x)2 3 [pic 15][pic 16]
[pic 17]
x x3[pic 18][pic 19][pic 20]
[pic 21]
x3 x5 x7 7
[pic 22] [pic 23] [pic 24]
x x3 3 [pic 25][pic 26][pic 27]
[pic 28]
Воспользуемся рядом Тейлора для ex, подставив вместо x выражение x − x3 + O(x3) и оставив только
[pic 29]
первые два члена разложения:
x x3
3 5
- x x3 2
f (x) = 1 +[pic 30][pic 31]
3 5
x x2
+ O(x3) +
2!
3[pic 32]
3 − 5
+ O(x3)
+ O(x3)
Ответ:
...