Функция Дирихле и функция Римана

Функция Дирихле и функция Римана

Подготовили студентки ММФ БГУ

1 курса 3 группы

Дюбайло Александра и Радецкая Елизавета

[pic 1]

*Колебание функции -- супремум модуля разности значений функции на всевозможных парах точек.

[pic 2]

Теперь решим несколько задач. Для этого вспомним определение непрерывной в точке функции

Определение непрерывности функции в точке:

[pic 3]

Исследуем композиции функций на непрерывность. Вспомним, что функция signx равна

1, если х>0,

 -1, если x<0

0, если  x=0

[pic 4]

1. F ° g = sign(1+x^2)

Так как x^2 >0, то значение функции равно 1, то есть константе, а константа по определению является непрерывной

Рассмотрим другую композицию, где функции f и g поменяли местами:

H(x)= g[pic 5]

f= 1+(signx)^2

              2, x>0

H(x)=    2, x<0

             1, x=0

Нарисуем график этой функции и рассмотрим предел функции слева и справа: оба они стремятся к 2, но значение самой функции в точке 0 равно 1, и не равно 2. Значит это точка устранимого разрыва первого рода. Точкой устранимого разрыва называются такие точки, в которой левый и правый предел равны, но не равны значению самой функции в этой точке, либо функция в этой точке не определена

Следует также напомнить, что точки разрыва бывают первого и второго рода. Точками разрыва первого рода также называют точки, в которых предел справа и слева не равны.  Все остальные точки разрыва являются точками разрыва второго рода.                                                                                                                                                                                                                                                              [pic 6]

H(x)=f[pic 7]